算法设计和分析试题（卷）与答案解析

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1、算法设计与分析1、(1)证明：O(f)+O(g)=O(f+g)（7分）(2)求下列函数的渐近表达式：（6分）①3n2+10n;②21+1/n;2、对于下列各组函数f(n)和g(n)，确定f(n)=O(g(n))或f(n)=Ω(g(n))或f(n)=θ(g(n))，并简述理由。（15分）(1)(2)(3)3、试用分治法对数组A[n]实现快速排序。（13分）4、试用动态规划算法实现最长公共子序列问题。（15分）5、试用贪心算法求解汽车加油问题：已知一辆汽车加满油后可行驶n公里，而旅途中有若干个加油站。试设计一个有效算法，指出应在哪些加油站停靠加油，使加油次数最少。（12

2、分）6、试用动态规划算法实现下列问题：设A和B是两个字符串。我们要用最少的字符操作，将字符串A转换为字符串B，这里所说的字符操作包括：(1)删除一个字符。(2)插入一个字符。(3)将一个字符改为另一个字符。将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A到B的编辑距离，记为d(A,B)。试设计一个有效算法，对任给的两个字符串A和B，计算出它们的编辑距离d(A,B)。（16分）7、试用回溯法解决下列整数变换问题：关于整数的变换和定义如下：。对于给定的两个整数和，要求用最少的变换和变换次数将变为。（16分）1、⑴证明：令F(n)=O(f),则存在自然数n1、c1

3、，使得对任意的自然数n≥n1，有：F(n)≤c1f(n)……………………………..（2分）同理可令G(n)=O(g),则存在自然数n2、c2，使得对任意的自然数n≥n2，有：G(n)≤c2g(n)……………………………..（3分）令c3=max{c1,c2},n3=max{n1,n2},则对所有的n≥n3，有：F(n)≤c1f(n)≤c3f(n)G(n)≤c2g(n)≤c3g(n)……………………………..（5分）故有：O(f)+O(g)=F(n)+G(n)≤c3f(n)+c3g(n)=c3(f(n)+g(n))因此有：O(f)+O(g)=O(f+g)…………………

4、…………..（7分）⑵解：①因为由渐近表达式的定义易知：3n2是3n2+10n的渐近表达式。……………………………..（3分）②因为，由渐近表达式的定义易知：21是的渐近表达式。……………………………..（6分）说明：函数T(n)的渐近表达式t(n)定义为：2、解：经分析结论为：（1）………………………….（5分）（2）；………………………….（10分）（3）；………………………….（15分）3、解：用分治法求解的算法代码如下：intpartition(floatA[],intp,intr){inti=p,j=r+1;floatx=a[p];while(1){whi

5、le(a[++i]x);if(i>=j)break;a[i]←→a[j]……………………………..（4分）};a[p]=a[j];a[j]=x;returnj;……………………………..（7分）}voidQuicksort(floata[],intp,intr){if(p

6、求解的算法代码如下：intlcs_len(char*a,char*b,intc[][N]){intm=strlen(a),n=strlen(b),i,j;for(i=0;i<=m;i++)c[i][0]=0;for(j=1;j<=n;j++)c[0][j]=0;……………………………..（4分）for(i=1;i<=m;i++)for(j=1;j<=n;j++)if(a[i-1]==b[j-1])c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;elseif(c[i-1][j]>=c[i][j-1])c[i][j]=c[i-1][j];elsec[i][j]=c[i][j

7、-1];……………………………..（7分）returnc[m][n];……………………………..（8分）};char*build_lcs(chars[],char*a,char*b){intk,i=strlen(a),j=strlen(b),c[N][N];k=lcs_len(a,b,c);s[k]=’’;while(k>0){if(c[i][j]==c[i-1][j])i--;……………………………..（11分）elseif(c[i][j]==c[i][j-1])j--;else{s[--k]=a[i-1];i--,j--;}}returns;………………