线材切割问题最优设计方案探讨

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1、数学建模论文摘要木文讨论多线材切割问题，通过整数规划建立数学模型来解决线材切割的需要，使得线材利用率提高，减少浪费。首先，我们分析了某根线材的切割方案和实行切割方案，遵循“全部用完，没有剩余”的原则，从而确定了多线材切割一般模型来得到线材切割的最优设计方案。其次，我们采取了三种模型：1.某根线材的切割方案模型。确定一根线材的几种最优切割方案，做到单根线材的最佳优化。2.实行切割方案的模型。要求花费原材料最少，即要求做到方案组合的最佳优化。3.多线材切割方案的一般模型。通过对某根线材切割方案和实行切割方案的分析，建立线材切割的一般模

2、型，得到最优化设计方案。最后，我们对所设计的模型进行了讨论。关键词语：多线材切割整数规划数学模型最优化方案目录一、问题重述3二、问题假设4三、符号说明44.1某根线材的切割方案模型44.2实行切割方案的模型64.3实行切割方案模型的求解64.4结果分析74.5多线材切割一般模型的建立7五、模型的分析与讨论8六、线材切割问题的几点建议9七、参考文献10八、附录11一、问题重述在很多工程领域，都有线材切割问题。这一问题可表述为：设能购买到的不同长度的原线材有m种，长度分别为Ll，...，Lm，这些原线材只是长度不同，其它都相同。某工程

3、屮所要切割出的线材长度分别为1i,i=l,2,...，n（这里1i〈所有Li），对疲数量分别为Ni,i=l，2,...，n。设计优化计算方案，求出分别需要购买多少根不同长度的原线材，并能给出切割方案及线材利用率。现假设某装修工程中需耍对铝合金线材进行切割，工程能购买到的同一规格的铝合金线材有二种长度，一种长度是8米，另一种是12米。现在假设要切割讼度和数量如下所示的铝合金线材：编号长度（单位:米）数量（单位:根）16.209023.6012032.8013641.8531050.7521560.55320应用所设计的计算方案，请问

4、至少需要购买多少根8米和12米的线材，使浪费的线材比较少，并给出切割方案和计算线材利用率。二、问题假设1.两种线材单位长度的价格是固定的。1.货源充足。2.在切割过程中不会出现人为造成的材料损失。三、符号说明1.:Li:第i种原材料的长度。2.lj:所需的第j种成品线材的长度。3.Nj:所需的第j种成品线材的数量。4.Xij:第i种线材被实行第j种切割方案的次数或该方案本身。5.ay某根线材切割出编号为j的线材成品数量，Hj为整数。四、建立模型4.1某根线材的切割方案。确定一根线材的儿种最优切割方案。第一，要保证有一种切割方案能够

5、切割出所需的第j种线材成品。第二，要遵循每根线材余料最少的原则，要求做到单根线材的最佳优化。模型Ml某根8m线材的切割方案模型.•min=8-6.20Xa，i-3.60X3,2-2.80X213-1.85X34-0.75X&5_0.55X9^;f6.02x6/1+3.60xtz2+2.80x+1.85x“4+0.75xt/5+0.55x«6<8;*#20，“戸20分别取1，2，...,6〉某根12m线材的切割方案模型：min=12-6.20Xai~3.60Xa2-2.80Xa3-l.85Xa4-0.75Xa5-0.55Xa6;J6

6、.20xrzl+3.60x6/24-2.80x“3+1.85xt/4+0.75x«5+0.55xt/6<12;S>t*tcij>0,ajEZ（y分别取1，2,…，6）在Lingo中执行以上程序，分别得出12种切割方案，见表4.11和表4.12（表中空白处表示0）表4.11某根8m线材的切割方案方案ai3.2a3^4a5a6余料/mXu130.15Xl2210.05X,32110X14410.05X15750Xi6750表4.12某根12m线材的切割方案方案ai3.2a3^4a5a6余料/mX211140X2211150X23130

7、X2411150X251140X2612310从表4.11中可以看出，方案Xl5和Xl6相同，因此可将切割方案归为五种。从表4.12屮可以看出，方案X21和方案X25相同，方案X22和X24相同，因此可将切割方案归为四种。将两种情况总结起来，可得到如表4.13所示的切割方案。表4.13某根线材的切割方案aiH2^3H4^6方案余料/m某根8m线材的切割方案X,i130.15X,2210.05X,32110X14410.05X,5750某根12m线材的切割方案x2.1140X2211150X23130X24123104.2实行切割方

8、案的模型。实行切割方案，第一，要求完成切割任务。第二，要求花费原线材最少，即要求做到方案组合的最佳优化。实行切割方案模型M254minZ=8j+12^x2j7=i>=ixl1+x21>902x12+x22+x23+x24>1202x13+x21+x