谈搜索算法的剪枝优化

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1、谈搜索算法的剪枝优化许晋炫【摘要】本文讨论了搜索算法中“剪枝”这一常见的优化技巧。首先由回溯法解决迷宫问题展开论述，介绍了什么是剪枝；而后分析剪枝的三个原则棗正确、准确、高效，并分别就剪枝的两种思路：可行性剪枝及最优性剪枝，结合例题作进一步的阐述；最后对剪枝优化方法进行了一些总结。【关键字】搜索、优化、剪枝、时间复杂度引论在竞赛中，我们有时会碰到一些题目，它们既不能通过建立数学模型解决，又没有现成算法可以套用，或者非遍历所有状况才可以得出正确结果。这时，我们就必须采用搜索算法来解决问题。    搜索算法按

2、搜索的方式分有两类，一类是深度优先搜索，一类是广度优先搜索。我们知道，深度搜索编程简单，程序简洁易懂，空间需求也比较低，但是这种方法的时间复杂度往往是指数级的，倘若不加优化，其时间效率简直无法忍受；而广度优先搜索虽然时间复杂度比前者低一些，但其庞大的空间需求量又往往让人望而却步。    所以，对程序进行优化，就成为搜索算法编程中最关键的一环。    本文所要讨论的便是搜索算法中优化程序的一种基本方法棗“剪枝”。什么是剪枝    相信刚开始接触搜索算法的人，都做过类似迷宫这样的题目吧。我们在“走迷宫”的时候

3、，一般回溯法思路是这样的：    1、这个方向有路可走，我没走过    2、往这个方向前进    3、是死胡同，往回走，回到上一个路口    4、重复第一步，直到找着出口    这样的思路很好理解，编程起来也比较容易。但是当迷宫的规模很大时，回溯法的缺点便暴露无遗：搜索耗时极巨，无法忍受。    我们可不可以在向某个方向前进时，先一步判断出这样走会不会走到死胡同里呢？这样一来，搜索的时间不就可以减少了吗？    答案是：可以的。    剪枝的概念，其实就跟走迷宫避开死胡同差不多。若我们把搜索的过程看成是对

4、一棵树的遍历，那么剪枝顾名思义，就是将树中的一些“死胡同”，不能到达我们需要的解的枝条“剪”掉，以减少搜索的时间。搜索算法，绝大部分需要用到剪枝。然而，不是所有的枝条都可以剪掉，这就需要通过设计出合理的判断方法，以决定某一分支的取舍。在设计判断方法的时候，需要遵循一定的原则。剪枝的原则    1、正确性    正如上文所述，枝条不是爱剪就能剪的。如果随便剪枝，把带有最优解的那一分支也剪掉了的话，剪枝也就失去了意义。所以，剪枝的前提是一定要保证不丢失正确的结果。    2、准确性    在保证了正确性的基础

5、上，我们应该根据具体问题具体分析，采用合适的判断手段，使不包含最优解的枝条尽可能多的被剪去，以达到程序“最优化”的目的。可以说，剪枝的准确性，是衡量一个优化算法好坏的标准。    3、高效性设计优化程序的根本目的，是要减少搜索的次数，使程序运行的时间减少。但为了使搜索次数尽可能的减少，我们又必须花工夫设计出一个准确性较高的优化算法，而当算法的准确性升高，其判断的次数必定增多，从而又导致耗时的增多，这便引出了矛盾。因此，如何在优化与效率之间寻找一个平衡点，使得程序的时间复杂度尽可能降低，同样是非常重要的。倘

6、若一个剪枝的判断效果非常好，但是它却需要耗费大量的时间来判断、比较，结果整个程序运行起来也跟没有优化过的没什么区别，这样就太得不偿失了。综上所述，我们可以把剪枝优化的主要原则归结为六个字：正确、准确、高效。剪枝算法按照其判断思路可大致分成两类：可行性剪枝及最优性剪枝。下面分别结合例题对这两种方法进行阐述。可行性剪枝    这个方向可不可以走？走下去会不会碰到死胡同？这就是对某一枝条进行可行性剪枝的简要判断过程。    我们现来看这样一道题。    问题简述：一个规则矩形网络状的城市，城市中心坐标为（0,0

7、）。城市包含M个无法通行的路障(M<=50)，采用如下规则游历城市：第一步走1格，第二步走2格，依此类推，第N步走n格(N<=20)，除了第一步有四个方向可走，其余各步必须在前一步基础上左转或右转90度，最后回到出发点（0,0）。对于给定的N、M，编程求出所有可行的路径。    这道题为ACM竞赛中“黄金图形”一题的简化，曾在GDKOI98中出为“数学家旅游”一题。    书中的解答采用了简单的回溯法，原因是该题的本身就已经有很强的剪枝判断了。那么我们先来分析一下用回溯法解题的思路：    用x，y两个变

8、量存储当前坐标，每一步对x，y的值进行修改，没有遇到障碍就继续走，走完n步看看有没有回到（0,0），没有的话回溯搜索，直到找完所有路径。    接着，我们来看看这种算法的时间复杂度。    一共走n步，每步要搜索四个方向，假设在最坏的情况下，没有任何障碍物，那么它的时间复杂度应该为：O(4n)。很明显，这样的算法效率并不会很高，所以我们必须对程序进行剪枝，在未走完n步之前就提早判断出这样的走法是否可行。当走到第o步时，假设当前