构造函数解导数综合题

《构造函数解导数综合题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、构造辅助函数求解导数问题对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里是几种常用的构造技巧．技法一：“比较法”构造函数[典例]　(2017·广州模拟)已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1．(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时，x2＜e

2、x．[解]　(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a．因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2，令f′(x)＝0，得x＝ln2，当x＜ln2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－ln4，f(x)无极大值．(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x．由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)＞0，故g(

3、x)在R上单调递增．所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜ex．[方法点拨]在本例第(2)问中，发现“x2，ex”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x2＜ex”构造函数，得到“g(x)＝ex－x2”，并利用(1)的结论求解．[对点演练]已知函数f(x)＝，直线y＝g(x)为函数f(x)的图象在x＝x0(x0＜1)处的切线，求证：f(x)≤g(x)．证明：函数f(x)的图象在x＝x0处的切线方程为y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)．令h(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f′

4、(x0)(x－x0)－f(x0)，则h′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝－＝．设φ(x)＝(1－x)e－(1－x0)ex，则φ′(x)＝－e－(1－x0)ex，∵x0＜1，∴φ′(x)＜0，∴φ(x)在R上单调递减，又φ(x0)＝0，∴当x＜x0时，φ(x)＞0，当x＞x0时，φ(x)＜0，∴当x＜x0时，h′(x)＞0，当x＞x0时，h′(x)＜0，∴h(x)在区间(－∞，x0)上为增函数，在区间(x0，＋∞)上为减函数，∴h(x)≤h(x0)＝0，∴f(x)≤g(x)．技法二：“拆分法”构造函数[典例]　设函

5、数f(x)＝aexlnx＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝e(x－1)＋2．(1)求a，b；(2)证明：f(x)＞1．[解]　(1)f′(x)＝aex＋(x＞0)，由于直线y＝e(x－1)＋2的斜率为e，图象过点(1,2)，所以即解得(2)证明：由(1)知f(x)＝exlnx＋(x＞0)，从而f(x)＞1等价于xlnx＞xe－x－．构造函数g(x)＝xlnx，则g′(x)＝1＋lnx，所以当x∈时，g′(x)＜0，当x∈时，g′(x)＞0，故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0

6、，＋∞)上的最小值为g＝－．构造函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．所以当x∈(0,1)时，h′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0；故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－．综上，当x＞0时，g(x)＞h(x)，即f(x)＞1．[方法点拨]对于第(2)问“aexlnx＋＞1”的证明，若直接构造函数h(x)＝aexlnx＋－1，求导以后不易分析，因此并不宜对其整体进行构造函数，而应先将不等式“aexlnx＋＞1”

7、合理拆分为“xlnx＞xe－x－”，再分别对左右两边构造函数，进而达到证明原不等式的目的．[对点演练]已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0．(1)求a，b的值；(2)证明：当x＞0，且x≠1时，f(x)＞．解：(1)f′(x)＝－(x＞0)．由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，故即解得(2)证明：由(1)知f(x)＝＋(x＞0)，所以f(x)－＝．考虑函数h(x)＝2lnx－(x＞0)，则h′(x)＝－＝－．所以当x≠1时，h′(x)＜0．而h(

8、1)＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)＞0，可得h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，可得h(x)＞0．从而当x＞0，且x≠1时，f(x)－＞0，即f(x)＞．技法三：“换元法”构造函数[典例]　已知函数f(x)＝ax2＋xlnx(a∈R)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x＋3y＝0垂直．(1)求实数a的值；(2)求证：当n＞m＞0时，