西北大学2002年硕士研

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1、西北大学2002年硕士研究生试题一．单项选择题−x2,1.设fx=,，∅(x)=㏑x，则复合函数f[∅(x)]的定义域为(A)−ex,A(0,+∞);B(-∞,0)C（1，+∞）D(-∞,1)1+x—1,2.设函数f(x)=x,，则f(x)在x=处满足(B),=A右连续且右导数存在B右连续但右导数不存在C左连续且左导数存在D左连续但左导数不存在1+x—1解：由题意知f(x)的定义域为[0，+∞﹚，又lim=x→+x1+x—1（1+x+1）xlim=lim=,所以f(x)在x=处右连续,又x→0+x(1+x+1）x→+1+x+11+∆x—1−

2、f0+∆x−f(0)∆x1lim=lim=lim→+∞，所以f(x)在∆x→0+∆x∆x→0+∆x∆x→0+∆x(1+∆x+1)x=处右导数不存在3.下列函数中满足在x=0处在任意阶可导,但其Taylor级数不收敛于它本身的是（C）Ay﹦1+xm，x1By=sinx(-∞+∞)1_2Cy=ex,，Dy=arctanx(x≤1),=11_1_2yx−y(0)ex2解：y=ex,,y`(0)=lim=lim=limx=x−x1x→x→x→,=ex21_limx2=limx=，同理可得y(n)(0)=，n=11x→21x→2ex(−

3、2)2ex3x22，3,…所以该函数在x=的泰勒级数为+.x+x+…＋x，虽然2!ｎ!它在（-∞，+∞）上收敛，且其和函数s(x)=,由此看到，对一切都有ys(x)(x2+y2)sin1,x2+y24.设fx=x2+y2则f(x，y)在(0,0)处满足（D）,x2+y2=Af`x(x，y)与f`y(x，y)不存在Bf`x(x，y)与f`y(x，y)不连续且f(x，y)不可微Cf`x(x，y)与f`y(x，y)连续且f(x，y)可微Df`x(x，y)与f`y(x，y)不连续但f(x，y)可微解：由于limx2+y2sin1==f(0,0)，所以f(

4、x，y)在(0,0)x2+y2x，y→,连续,当x2+y2=时,limf+∆x，−f，=lim∆xsin1=0=fx(0,0)，∆x→∆x∆x→∆x2当x2+y2时，fx(x,y)=2xsin1−2xcos1，而x2+y2x2+y2x2+y212x1lim2xsin=，limcos不存在，因此x2+y2x2+y2x2+y2x，y→,(x，y)→(,)limfxx,y不存在，从而fx(x,y)在点(0,0)不连续，同理可证fy(x,y)x，y→,在点(0,0)不连续。2∆ｆ−fx,∆x−fｙ(,)∆ｙ∆x2+∆ｙ１然而lim＝lims

5、in2＝０，(x，y)→(,)2+∆ｙ2(x，y)→(,)2+∆ｙ2∆x2+∆ｙ∆x∆x所以ｆ在点(0,0)可微５.下列函数满足“limf（x,y)存在”，但“limlimf（x,y)ｘ→０ｙ→０ｘ→０y→０与limlimf（x,y)均不存在”的是（A）y→０x→０11sinx3+y322Afx,y=x+ysinsin,当x,yBf(x,y)=,当x+yxyx2+y2Cf(x,y)=xy，当x2+y2x2+y21Dfx,y=xsin，当yy1111解：对于fx,y=x+ysinsin,

6、x+ysinsin

7、≤

8、x+y

9、，从而xyxy1limfx,y

10、=,∀y,当x→时sin极限不存在,x，y→,x1同理∀x,当y→时sin极限也不存在,从而limlimfx,y与yｘ→０y→０limlimf（x,y)均不存在，y→０x→０sin（x3+y3）sin（x3+y3）x3+y3lim=lim.,x2+y2x3+y3x2+y2x，y→,x，y→,≤

11、x3+y3

12、x

13、x2

14、y

15、y2

16、x

17、x2

18、y

19、y2

20、≤+.lim(+)≤lim(

21、x

22、+

23、y

24、)=，x2+y2x2+y2x2+y2x，y→,x2+y2x2+y2x，y→,sin（x3+y3）从而lim=.x2+y2x，y→,sin（x3+y3

25、）sinx3cosx3.3x233limlim=lim=lim=limxcosx=x2+y2x→x2x→2xx→2ｘ→０y→０sin（x3+y3）xy同理limlim=,对于fx,y=,y=mxx2+y2x2+y2y→０x→０mlimfx,y=lim(x,mx)=,从而limfx,y不存在，x→1+m2x，y→,x，y→,xyxy1limlim=limlim=limxsin=.x2+y2x2+y2yy→０x→０ｘ→０y→０x，y→,11limlimxsin=limlimx