角平分线的性质定理和判定(经典)

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1、角平分线的性质定理和判定第一部分:知识点回顾1、角平分线:把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线;2、角平分线的性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等:①平分线上的点;②点到边的距离;3、角平分线的判定定理:到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分:例题剖析例1.已知:在等腰Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,AB=15cm,(1)求证:BD+DE=AC.(2)求△DBE的周长.例2.如图,∠B=∠C=90°,M是BC中点,DM平分∠ADC

2、,求证:AM平分∠DAB.例3.如图,已知△ABC的周长是22,OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,△ABC的面积是多少?第6页共6页第三部分:典型例题例1、已知:如图所示,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE、CD交于点O,且AO平分∠BAC,求证:OB=OC.【变式练习】如图,已知∠1=∠2,P为BN上的一点,PF⊥BC于F,PA=PC,求证:∠PCB+∠BAP=180º例2、已知:如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.(1)若连接AM,则A

3、M是否平分∠BAD?请你证明你的结论;(2)线段DM与AM有怎样的位置关系?请说明理由.(3)CD、AB、AD间?直接写出结果【变式练习】如图,△ABC中,P是角平分线AD,BE的交点.求证:点P在∠C的平分线上.第6页共6页例3.如图,在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,且DE=2cm,AB=9cm,BC=6cm,求△ABC的面积.【变式练习】如图,D、E、F分别是△ABC的三条边上的点,CE=BF,△DCE和△DBF的面积相等.求证:AD平分∠BAC.第四部分:思维误区一、忽视

4、“垂直”条件例1.已知,如图,CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C,BF=CF。求证:AF为∠BAC的平分线。第五部分:方法规律(1)有角平分线,通常向角两边引垂线。(2)证明点在角的平分线上,关键是要证明这个点到角两边的距离相等,即证明线段相等。常用方法有:使用全等三角形,角平分线的性质和利用面积相等,但特别要注意点到角两边的距离。(3)注意:许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了,所以证题时,不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理,仍然去找全等三角形,结果相当于重新证明了一次这两个结论.所

5、以特别提醒大家,能用简单方法的,就不要绕远路.第七部分:巩固练习第6页共6页A组一、耐心选一选,你会开心(每题6分,共30分)1.三角形中到三边距离相等的点是(  )A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点 C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点2.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,若AB=12cm,则△DBE的周长为()A、12cm    B、10cm     C、14cm    D、11cm3.如图2所示,已知PA、PC分别是△ABC

6、的外角∠DAC、∠ECA的平分线,PM⊥BD,PN⊥BE,垂足分别为M、N,那么PM与PN的关系是()A.PM>PN   B.PM=PN   C.PM<PN   D.无法确定DMABCNPE图2DBCAEF图34.如图3所示,△ABC中,AB=AC,AD是∠A的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,下面给出四个结论,其中正确的结论有()①AD平分∠EDF;②AE=AF;③AD上的点到B、C两点的距离相等④到AE、AF距离相等的点,到DE、DF的距离也相等A、1个B、2个C、3个D、4个5.

7、ABCDP如图,已知点D是∠ABC的平分线上一点,点P在BD上,PA⊥AB,PC⊥BC,垂足分别为A,C.下列结论错误的是().A.AD=CPB.△ABP≌△CBPC.△ABD≌△CBDD.∠ADB=∠CDB.二、解答题第6页共6页AFCDEB6.已知:AD是△ABC角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,BD=CD,证:∠B=∠C.BDAEC7.如图,已知在△中,,点是斜边的中点,,交于.求证:平分.8、如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,求证:AM平分∠DAB.

8、9.如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C.求证:点C在∠AOB的平分线上.第6页共6页第八部分:中考体验一.选择题(共3小题)1.(2011•衢州)如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为(  ) A.1B.2C.3D.42.(2011•恩施州)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39

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