《平截面假设》word版

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1、梁弯曲的平截面假设陈洲泉一、平截面假设的数学理论：（1）考虑梁的纯弯曲问题：（空间梁）XZYMyMy（图1）如（图1）所示只作用弯矩My的纯弯曲梁，将其换分为等大小的单元。（图2）由于梁两端作用荷载的对称性，对于每个单元而言，其变形都是相同的。若要保证每个单元都具有相同的变形，则只有要求横截面保持为平面才有可能。而且，图（1）所示问题的由弹性力学方法解得的位移函数为：(1)式中，u,v,w分别为沿x,y,z方向的位移，为泊松比，R为曲率半径。现任取一个梁的横截面,这个横截面上的各点在梁变形以后的新坐标是为：这里

2、的表示u在处的位移值，将（1）式代入得：（2）显然这是一个与Oy轴平行的平面方程，截面上的各点在梁变形以后仍然都落在这个平面上。（2）端部受集中力的悬臂梁问题：（平面问题处理）ZXPOLY1h/2h/2Y（图3）该问题的弹性力学解得的位移函数为：（3）式中E为弹性模量，I为截面惯性矩。再取变形前某个横截面的方程为，变形后，对于截面上某点的坐标为即可见这是一个三次曲面，那么变形后横截面不在保持为平面了。二、数值分析：从前面的数学推导来看，判定一个截面在变形后是否保持为平面，是通过考察面沿轴向方向位移函数来确定的，

3、只考察了一个方向。这样就给我们留下了一个疑问，即垂直于轴向方向的位移函数会影响平面的形式吗？于是我们跟踪变形前的一系列点，根据点的分布情况，进行数值拟合，然后来确定变形后的平面形式。1、不妨考虑问题2，取平面上的一系列点，变形后对应点的坐标为：注意：以下数值求解图像的坐标形式变为下图形式：（与原问题等效）YXP（图4）现在取这个平面进行分析，将梁高平分100等分，跟踪这101个等分点的位移变化。设荷载P=1000kN，杨氏模量E=2e11，泊松比v=0.3，梁的长L=100，梁高10，梁宽b=1。（图5）红线代

4、表处的未变形的截面。蓝线代表不考虑竖向位移时的截面形式，黑线代表考虑竖向位移时的截面形式，当X=h处平面变形为：（图6）当x=2h处平面变形为：（图7）当x=L/2处平面的变形为：（图8）当x=L-h处平面的变形为：（图9）从图（5）到图（9）的变化我们可以得到如下三个现象：（1）蓝线和黑线随着x的增加，其与红线的夹角越来越小。（2）黑线和蓝线之间的距离也越来越近。（3）蓝线和黑线都表现为斜线形式，截面弯曲不明显。三种现象分别表明：（1）离固支端越远则截面的转角越大。（2）变形后的真实截面与不考虑竖向位移的截面

5、并不重合，但随着离固支端的距离越来越近，两截面也越来越趋近。（3）截面上述几何形状和荷载条件下表现为小变形，线弹性，近似为平截面。2、再考虑一种情况：取梁长L=10，梁高h=10，考察x=0处的截面：（图10）从图上可以看出截面的水平位移的数量级为，远小于L=100，h=10的情况。而截面形式不再是斜直线而是曲线，截面不再是平截面。3、考虑（图5）到（图10）中的黑色数据点，算出相邻两点之间的斜率，然后统计所有斜率的均方差，数据如下表。X=0X=10X=20X=50X=90均方差（S2）0.575940.587

6、680.625151.0267316.52316L=10，h=101.93676e+0046.8768e+004（表1）易知如果数据点完全满足线性分布的话，那么这些数据的均方差S2=0，所以可知数据的均方差越小，则数据的线性性质越好：1、通过比较数据可以看出离悬臂梁的固支端越远，梁的截面曲线的线性性质越好，即平截面性质越好。而截面的弯曲性质随着离固支端距离越来越近而增强，剪切力对截面的影响增强。2、同时，当梁的高跨比h/L=1时，曲线的斜率方差的数量级达到之大，可见截面的弯曲性质更明显了，剪切力的影响就不能忽略

7、了。三、结论：对于梁弯曲问题，在线弹性范围内，纯弯曲问题一定满足平截面假设，即变形后截面一定为平面。而对于受集中荷载作用的悬臂梁，即截面上还有剪应力作用的梁的截面会发生弯曲，这种弯曲随着高跨比h/L的增加而明显。一般情况下，梁的高跨比h/L都是比较小的，所以截面变形仍然表现为良好的线性，所以平截面假设仍然具有良好的适用性，能够充分满足设计的需要。