函数恒成立存在性与有解问题

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1、函数恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化:恒成立;2、能成立问题的转化:能成立;3、恰成立问题的转化:在M上恰成立的解集为M另一转化方法:若在D上恰成立,等价于在D上的最小值,若在D上恰成立,则等价于在D上的最大值.4、设函数、,对任意的,存在,使得,则5、设函数、,对任意的,存在,使得,则6、设函数、,存在,存在,使得,则7、设函数、,存在,存在,使得,则8、若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方;9、若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方;例题讲解:题型一、常见方法1、已知函数,,其中,.1)对任意,都有恒成立,求实

2、数的取值范围;2)对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;2、设函数,对任意,都有在恒成立,求实数的取值范围.3、已知两函数,,对任意,存在,使得,则实数m的取值范围为题型二、主参换位法(已知某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数)1、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。2、已知函数是实数集上的奇函数,函数是区间上的减函数,(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若上恒成立,求的取值范围;题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来)1、当时,不等式恒成立,则的取值范围是.题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法))1、若对任意,不等式恒成立,则实数的取值

3、范围是________2、已知函数,在恒有,求实数的取值范围。题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上;若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.1、存在实数,使得不等式有解,则实数的取值范围为______。2、已知函数存在单调递减区间,求的取值范围小结:恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一体。①不等式对时恒成立,。即的上界小于或等于;②不等式对时有解,。或的下界小于或等于;③不等式对时恒成立,。即的下界大于或等于;④不等式对时有解,.。或

4、的上界大于或等于;课后作业:1、设,若对于任意的,都有满足方程,这时的取值集合为()(A)(B) (C)(D)2、若任意满足的实数,不等式恒成立,则实数的最大值是___.3、不等式有解,则的取值范围是4、不等式在内恒成立,求实数a的取值范围。5、已知两函数,。(1)对任意,都有)成立,求实数的取值范围;(2)存在,使成立,求实数的取值范围;(3)对任意,都有,求实数的取值范围;(4)存在,都有,求实数的取值范围;6、设函数.(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;(Ⅱ)若对任意的不等式成立,求a的取值范围。7、已知A、B、C是直线上的三点,向量,,满足:.(1)求函数y=f(x)的表达式;(2)若x

5、>0,证明:f(x)>;(3)若不等式时,及都恒成立,求实数m的取值范围. 8、设,且(e为自然对数的底数)(I)求p与q的关系;(II)若在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;(III)设,若在上至少存在一点,使得成立,求实数p的取值范围.函数专题4:恒成立问题参考答案:题型一、常见方法1、分析:1)思路、等价转化为函数恒成立,在通过分离变量,创设新函数求最值解决.2)思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值,即只需满足即可.简解:(1)由成立,只需满足的最小值大于即可.对求导,,故在是增函数,,所以的取值范围是.2、分析:思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数.

6、以本题为例,实质还是通过函数求最值解决.方法1:化归最值,;方法2:变量分离,或;方法3:变更主元,,简解:方法1:对求导,,由此可知,在上的最大值为与中的较大者.,对于任意,得的取值范围是.3、解析:对任意,存在,使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0,既,∴题型二、主参换位法(已知某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数)1、解:不等式即,设,则在[-2,2]上恒大于0,故有:或2、O(Ⅱ)分析:在不等式中出现了两个字母:及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。(Ⅱ)略解:由(Ⅰ)知:

7、,,在上单调递减,在上恒成立,,只需,(其中)恒成立,由上述②结论:可令,则,,而恒成立,。题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来)1、当时,不等式恒成立,则的取值范围是.解析:当时,由得.∴.题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法))1、解析:对,不等式恒成立、则由一次函数性质及图像知,即。2、分析:为了使在恒成立,构造一个新函数,则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于

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