抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析

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1、抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。【知识梳理】1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程焦点位置X正X负Y正Y负焦点坐标准线方程范围对称轴X轴X轴Y轴Y轴顶点坐标（0,0）离心率通径2p焦半径焦点弦长焦点弦长以为直径的圆必与准线相切8的补充若的倾斜角为，若的倾斜角为

2、，则3．抛物线的几何性质：(1)范围因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在轴的右侧，当的值增大时，

3、

4、也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．(3)顶点（0，0），离心率：，焦点，准线，焦准距p．(4)焦点弦：抛物线的焦点弦，,,则．弦长

5、AB

6、=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。4．焦点弦的相关性质：焦点弦，,，焦点(1)若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。(2)若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。(3)已知直线AB是过

7、抛物线焦点F,(4)焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．(5)两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5．弦长公式：,是抛物线上两点，则【经典例题】（1）抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例1】P为抛物线

8、上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（）8相交相切相离位置由P确定【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是.作PH⊥于H，交y轴于Q，那么，且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的中位线，.故以PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，求证：（1）（2）【证明】（1）如图设抛物线的准线为，作，.两式

9、相加即得：（2）当AB⊥x轴时，有成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程：.化简得：∵方程（1）之二根为x1，x2，∴.8.故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立.（3）切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明：过抛物线上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）【证明】对方程两边取导数：.由点斜式方程：y0y=p（x+x0）（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽

10、的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（）显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2.抛物线的通径长为2p；3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么：以下再举一例【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给

11、于证明.【证明】如图设焦点两端分别为，8那么：设抛物线的准线交x轴于C，那么.这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.●通法特法妙法（1）解析法——为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则

12、AB

13、等于（）A.3B.4C.3D.4【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】∵点A、B关于直线x+y

14、=0对称，∴设直线AB的方程为：.由设方程（1）之两根为x1，x2，则.设AB的中点为M（x0，y0），则.代入x+y=0：y0=.故有.从而.直线AB的方程为：.方程（1）成为：.解得：，从而，故得：A（-2，-1），