定积分计算技巧

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1、1.定积分的几何意义例1.=_________．解法1由定积分的几何意义知，等于上半圆周()与轴所围成的图形的面积．故=．2.利用积分不等式例1.求,为自然数．解法利用积分不等式因为,而,所以．例2.求．解法因为，故有．于是可得．又由于．因此=．3.利用被积函数的奇偶性求定积分．例1.计算．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解=．由于是偶函数，而是奇函数，有,于是===由定积分的几何意义可知,故．例2.计算.解 虽然在上即不是奇函数，也不是偶函数，更不能直接求出原函数，但我们可以利用得原式.4.设f(x)为周期函数且连

2、续，周期为T，则.事实上由于于是例1.设表示距离x最近整数的距离，计算解  由且为周期函数，周期为1，于是5.利用积分中值定理例1.求,为自然数．解法利用积分中值定理设,显然在上连续,由积分中值定理得,,当时,,而,故．例2.求．解法由积分中值定理可知=，．又且，故．6.利用适当变量变换求定积分例1.设f(x)在[0，1]上连续，计算解 设于是得例2.设函数f(x)在内满足且，计算解法一                 解法二当时，于是例46 设解原式7.利用定积分公式公式1：设f(x)在[0,1]上连续，则事实上   移项两边同除以2得.公式2

3、：记    于是由于递推公式每次降2次，要讨论n为奇偶数的情形，由公式3：证 由，知的周期为，当然也是它的周期，利周期函数定积分的性质，有而由于2n是偶数，故公式4.证例54 证明.证 公式5设f(x)在[0,1]上连续，则.证由是为周期的函数，当然也是以为周期的函数，知也是以为周期的函数，于是 公式6证公式7.证例1.计算.解 利用方法（7）得原式