电动力学典型试题（卷）分析

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1、WORD格式可编辑典型试题分析1、证明题：1、试由毕奥－沙伐尔定律证明证明：由式：又知：，因此由所以原式得证。2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式证：在一般的变化情况中，电场E的特性与静电场不同。电场E]一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A在内。得：，该式表示矢量是无旋场，因此它可以用标势描述，。因此，在一般情况下电场的表示式为：。即得证。3、试由洛仑兹变换公式证明长度

2、收缩公式。答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物体沿x轴方向运动，以固定于物体上的参考系为。若物体后端经过点（第一事件）与前端经过点（第二事件）相对于同时，则定义为上测得的物体长度。物体两端在上的坐标设为。在上点的坐标为，点的坐标为，两端分别经过和的时刻为WORD格式可编辑。对这两事件分别应用洛伦兹变换式得，两式相减，计及，有式中为上测得的物体长度（因为坐标是在上同时测得的），为上测得的物体静止长度。由于物体对静止，所以对测量时刻没有任何限制。由式得。4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系答：由于静电场的无旋性，得

3、：设为由的两条不同路径。合成闭合回路，因此即因此，电荷由而只和两端点有关。把单位正电荷由电场E对它所作的功为：这功定义为的电势差。若电场对电荷作了正功，则电势下降。由此，由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。相距为的两点的电势差为由于因此，电场强度E等于电势的负梯度5、试由恒定磁场方程证明矢势A的微分方程。答：已知恒定磁场方程（在均匀线性介质内），把WORD格式可编辑得矢势A的微分方程由矢量分析公式若取A满足规范条件，得矢势A的微分方程6、试由电场的边值关系证明势的边值关系证：电场的边值关系为：，式可写为式中为

4、由介质1指向介质2的法线。利用,可用标势将表为：势的边值关系即得证。7、试由静电场方程证明泊松方程。答：已知静电场方程为：并知道在均匀各向同性线性介质中，，将（3）式代入（2）得，为自由电荷密度。于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。答：麦克斯韦方程组WORD格式可编辑表明，变化的磁场可以激发电场，而变化的电场又可以激发磁场，因此，自然可以推论电磁场可以互相激发，形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度并利

5、用第一个方程，得到，再把第四个方程对时间求导，得到，从上面两个方程消去，得到。这就是标准的波动方程。对应的波的速度是9、试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件解：对于磁场B，把应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以上推导可得：作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为，短边边长为。因为，作沿狭长矩形的E的路径积分。由于比小得多，当时，E沿积分为二级小量，忽略沿的路径积分，沿界面切线方向积分为：即：。可以用矢量形式表示为：式中t为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。令矩形面法线方向单位矢量为，它与界面相切

6、，显然有将，则，利用混合积公式，改写式为：此式对任意都成立，因此，此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的。WORD格式可编辑10、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有，把时谐电磁波的电场和磁场方程：代入麦氏方程组消去共同因子后得在此注意一点。在的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于，因而，即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。在此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。取第一式旋度并用第二式得由，上式变为此为亥姆霍兹方程。11、试用边值关系

7、证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电的情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下，导体内的电场线总是平行于导体表面。证明：（1）导体在静电条件下达到静电平衡，所以导体内，而：（2）导体中通过恒定的电流时，导体表面。而：，。导体内电场方向和法线垂直，即平行于导体表面。12、设是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数（赫兹矢量），若令证明：满足洛伦兹规范，故有WORD格式可编辑1、计算题：1、真空中有一半径为接地导体球，距球心为处有一点电荷Q，求空间各点的电势。解：假设可以用球内一个假想点电荷来代替球面上感应电荷对空间电场的作用

8、。由对称性，应在连线上。关键是能否选择的大小和位置使得球面上的条件使得满足？考虑到球面上任一点