高中数学竞赛讲座［共十五讲］

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1、数学资源下载：http://www.docin.com/sxzyxz高中数学竞赛讲座【共十五份】目录不等式1整数的整除性4抽屉原则12竞赛专题讲座－类比、归纳、猜想19竞赛讲座－覆盖21平面几何四个重要定理37平面几何证明47平面三角53奇数和偶数60染色问题与染色方法68三角运算及三角不等关系75三角不等关系78同余式与不定方程80本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］90不等式不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都

2、可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。一、不等式证明的基本方法1．比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法。（1）差值比较法95超越自我争创辉煌数学资源下载：http://www.docin.com/sxzyxz原理　A－B＞0A＞B．【例1】（l）m、n是奇偶性相同的自然数，求证：（am＋bm）（an＋bn）＜2（

3、am+n+bm+n）。（2）证明：··≤。【例2】设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，j1,j2,…,jn是1,2,…,n的任意一个排列，令S=a1+a2+…+an，S0=a1bn+a2bn-1+…+anb1，S1=a1b1+a2b2+…+anbn。求证：S0≤S≤S1。（2）商值比较法原理　若>1，且B>0，则A>B。【例3】已知a,b,c>0，求证：a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b。2．分析法【例4】若x,y>0，求证：>。【例5】若a,b,c是△ABC的三边长，求证：a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+c2a2)。

4、3．综合法【例6】若a,b,c>0，求证：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。【例7】已知△ABC的外接圆半径R=1，S△ABC=，a,b,c是△ABC的三边长，令S=，t=。求证：t>S。4．反证法95超越自我争创辉煌数学资源下载：http://www.docin.com/sxzyxz【例8】已知a3+b3=2，求证：a+b≤2。5．数学归纳法【例9】证明对任意自然数n，。二、不等式证明的若干技巧无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合

5、地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口。1．变形技巧【例1】若n∈N，S=++···+，求证：n

6、，a,b,c是△ABC的三边长，△=S△ABC。3．数形结合、构造【例5】证明：≤。4．递推95超越自我争创辉煌数学资源下载：http://www.docin.com/sxzyxz【例6】已知：x1=，x2=，···，xn=。求证：。三、放缩法【例1】若n∈N，n≥2，求证：。【例2】α、β都是锐角，求证：≥9。【例3】已知：a1≥1，a1a2≥1，···，a1a2···an≥1，求证：。【例4】S=1+++···+，求S的整数部分[S]。【例5】设a0=5，an=an-1+，n=1,2,···。求证：45

7、整数的整除性的有关概念、性质（1）      整除的定义：对于两个整数a、d（d≠0），若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d

8、a。若d不能整除a，则记作d a，如2

9、6，4 6。（2）      性质1） 若b

10、a，则b

11、(-a)，且对任意的非零整数m有bm

12、am2） 若a

13、b，b

14、a，则

15、a

16、=

17、b

18、;95超越自我争创辉煌数学资源下载：http://www.docin.com/sxzyxz3） 若b

19、a，c

20、b，则c

21、a4） 若b

22、ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互质，则b

23、c；5） 若b

24、ac，而b为质

25、数，则b

26、a，或b

27、c；6） 若c

28、a，c

29、b，则c

30、（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和