平面几何中的向量方法(25)

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1、2.5.1平面几何中的向量方法教材分析本节内容是数学必修4第二章平面向量2.5平面向量应用举例的第一课时．本节课是在学习了向量的线性运算及向量数量积的基础上进行的，是对前面学习内容的延续与拓展；本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性。对于向量方法，就思路而言，向量方法与平面几何中的解析法是一致的，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.同时本节课也是对向量相关知识的进一步巩固、应用，加深对向量相关知识的理解，深化学生对向量的理解，培养学生数学实际应用的能力．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解利用向量方法解决平面几何中的平行、全等、相

2、似、长度、夹角等问题．教学目标重点:用向量知识解决实际问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲”.难点：选择恰当的方法，将几何问题化归为向量问题.知识点：平面几何中的向量方法；通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系.能力点：掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决几何问题；通过经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题的过程，体会向量处理几何问题的优越性；发展学生的运算能力、推理论证能力和解决实际问题的能力．教育点：让学生亲身经历问题相互转化的过程，体验向量在解决平面几何问题中的工具作用，增强学生的探究意识和学习热情；在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观

3、察、互相合作的精神．自主探究点：通过向量线性运算与向量数量积的几何背景，探究解决几何元素间的关系，如平行、距离、夹角等问题的方法与步骤．考试点：平面几何中的向量方法．拓展点：通过课后思考探究直线的有关问题和函数的最值问题．教具准备多媒体课件、三角板课堂模式学案导学一、引入新课1、知识回顾：问题1：请同学们完成下列表格（向量的加、减法运算及其几何意义）？10问题2：向量数量积的概念，利用它可以进行哪些量的计算？问题3：如何判断两个向量的平行、垂直？加法三角形法则加法平行四边形法则减法三角形法则图形表示语言表述已知非零向量与，在平面内任取一点,作，,则=在平面内任取一点，作，，以，为邻边

4、作，则=.在平面内任取一点,作，，则特点首尾相接，首尾连相同起点同起点，连终点，方向指向被减向量【师生活动】师：展示课件、提出问题．生：思考并完成问题．1.向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量减法的三角形法则2.向量的数量积：向量的模：夹角公式3.向量平行与垂直的判定：【设计意图】使学生对本节课所必备的基础知识有一个清晰准确的认识，分散教学难点，更为学生自主探究铺平道路．师：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体

5、实例,说明向量方法在平面几何中的运用.【设计意图】在开课之初就让学生明确本节课所要研究的内容，让学生带着问题去学习，引发学生探究新知识的欲望．10二、探究新知【师生活动】师生共同回忆勾股定理的平面几何证明方法．师：展示赵爽弦图和欧几里德证法，进而提出问题：还能用更简单的方法证明吗？师：勾股定理就是要研究三角形三条边长度之间的关系，而涉及长度问题，我们常常要考虑向量中哪些知识？生：思考、交流、形成一致认识．向量的模就是相应线段的长度，要考虑向量的数量积．师：怎样将线段变为向量？也就是说怎样把这个几何问题转化为向量问题？生：思考、讨论．（多数学生能用向量方法证明勾股定理）设，，则．所以．

6、因为，所以．所以即．师：我们把直角三角形演变成矩形，你能发现矩形中四条边与两条对角线的关系吗？生：独立思考、小组交流，得出结论，代表回答．类比“勾股定理”容易得到：“矩形的两对角线长度的平方和等于两邻边平方和的二倍”．即：．师：如果不小心把矩形碰歪了，变成了平行四边形，这个结论还成立吗？生：思考交流，得到猜想结论．【设计意图】学生借助于勾股定理，对直角三角形和矩形中边与边之间的长度关系有较直观的认识、较容易理解；以此为基础支持，在具体、直观的问题中观察、类比、体验，得到猜想，为重难点的突破奠定基础；并由此进入例1的讨论．【师生活动】例1证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和．师：

7、你能证明猜想结论的正确性吗？生：思考、小组交流，探究问题的答案，并板书展示探究过程．教师引导学生共同批改学生答案，探讨解题中出现的问题和解题的关键点，并校对自己的答案．10证明：设设，，则，，，．所以，；，．所以；．所以，即．所以平行四边形两对角线平方和等于四条边的平方和．【设计意图】培养学生反思、总结的习惯；通过动手操作让学生进行独立的探究学习，提高学生向量运算能力和推理论证能力．【师生活动】师：如果不用向量方法，你能证明上述关系吗？生：思考、交流．（予