次dp曲线的形状分析

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1、三次DP曲线的形状分析吴晓勤，朱秀云，陈福来（湖南科技大学数学与计算科学学院,湘潭,411201）摘要基于包络理论与拓扑映射的方法对三次DP曲线进行了形状分析，得出了曲线上含有奇点、拐点和曲线为局部凸或全局凸的充分必要条件，这些条件完全由控制多边形的顶点位置所决定。最后，就三次DP曲线和三次Bezier曲线、三次Ball曲线的形状图进行了对比。关键词　DP曲线；奇点；拐点；局部凸；全局凸中图分类号：TP391ShapeAnalysisofCubicDPCurveWUXiao-qinZHUXiu-yunCHENFu-lai(SchoolofMathematics&ComputationScie

2、nce,HunanUniversityofScience&Technology,Xiangtan411201)Abstract:Inthispaper,weanalyzedtheshapefeaturesofthecubicDPcurvebyusingthemethodbasedonthetheoryofenvelopandtopologicalmapping.Necessaryandsufficientconditionsarederivedforthiscurvehavingoneortwoinflectionpoints,alooporacusp,orbelocallyorglobal

3、lyconvex.Thoseconditionsarecompletelycharacterizedbythevetexofthecontrolpolygon.Atlast,wegivetheshapediagramofcubicBéziercurveandBallcurve.Keywords：DPcurve;singularpoints;inflectionpoints;localconvexity;globalconvexitySubjectClassification(CL)TP3910引言2003年，Delgado和Pea提出一种新的参数曲线[1-2]，新的基函数被称之为DP基，由此

4、构造的曲线被称为DP曲线[3]。DP基是规范的全正基（简称NTP基），DP曲线的生成算法是割角算法，具有数值计算的稳定性，且算法的计算复杂度是线性的；DP曲线同样具有端点插值的特性。因此，DP曲线在计算上是优于Bézier曲线，有很好的应用前途。在实际应用中，往往需要判断参数曲线段上有无奇点和拐点，以及曲线为局部凸还是全局凸，这对曲线的形状控制是至关重要的。Yang和Wang用摆线的仿射变换方法，讨论了C-Bézier曲线的奇点与拐点，给出了该曲线的形状分布图[4]。还通过构造一种特征函数的方法得到了平面三次H-Bézier曲线的奇拐点分布[5]；其后叶正麟和吴荣军利用包络理论和拓扑映射的方

5、对平面三次C-Bézier曲线和平面三次H-Bézier曲线进行了形状分析[6,7]，也得出了曲线的形状分布图。Juhász通过固定三个控制点，适当选择第四个控制点的位置来产生并调控有理Bézier及C-Bézier曲线的奇点和拐点的方法[8].本文基于包络理论和拓扑映射的方法，对三次DP曲线进行形状分析，讨论了相应空间曲线的变挠性，再对平面非退化曲线的奇点、拐点及凸性作了进一步讨论，揭示局部凸区域与重结点区域的两条边界线之间的包络关系，由此得出了平面三次DP曲线的形状分布图，图中既包括奇、拐点分布区域，还给出了局部凸区域和全局凸区域。最后，就三次DP曲线和三次Bézier曲线、三次Ball

6、曲线的形状图进行了对比。1.三次DP曲线简介根据文献[1-2]，给出三次DP曲线的定义。8定义1　给定4个控制顶点Ｒd(，，对，定义曲线（1）为三次DP曲线，其中基函数定义为（2）2空间三次DP曲线的形状分析定理1　若4个控制顶点不共面，则曲线为空间曲线且无奇点和泛拐点。证明设（），将改写为(3)则有由式(2)得，当时，，又由控制顶点不共面可知，边向量()线性无关，故，即不可能有尖点。假设曲线有重结点，设有，使得，则有(4)因为()线性无关，所以由式(4)得，显然是单调递增，上式不成立，无二重点。泛拐点是指空间曲线上挠率变号的点。设det()，则有8其中为边向量的混合积，。所以曲线无泛拐点，

7、并且与控制多边形具有相同的旋转方向。3平面三次DP曲线的形状分析如果、、、四点共面，为平面曲线，此时=0。先考虑不平行，以，为基向量，令，将其代人式(3)得(5)3.1尖点曲线有尖点的必要条件是=0(0<<1).由式(5)得(6)由于与线性无关，据式(6)得参数曲线(7)对式(7)参数曲线求一阶和二阶导数，易知曲线C是单调递减和凸的。在曲线C上任取一点，记为，与之对应的参数值设为。由的泰勒展开为，求导得(8)