圆与方程知识点总结典型例题

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1、湖州市弘大培训学校圆与方程1.圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.2.点与圆的位置关系：(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a.点在圆内d＜r；b.点在圆上d=r；c.点在圆外d＞r(2).给定点及圆.①在圆内②在圆上③在圆外（3）涉及最值：①　圆外一点，圆上一动点，讨论的最值②　圆内一点，圆上一动点，讨论的最值思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）3.圆的一般方程：.(1)当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径8湖州市弘大培训学校.(2)当时，方程表示一个点.(3)当时，方程不表示任何图形.注：方程表示圆的充

2、要条件是：且且.4.直线与圆的位置关系：直线与圆圆心到直线的距离1）；2）；3）；弦长

3、AB

4、=2还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系（1）设两圆与圆，圆心距①　；8湖州市弘大培训学校①　；②　；③　；④　；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆：，圆：，则为两相交圆公共弦方程.补充说明：①　若与相切，则表示其中一条公切线方程；②　若与相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问

5、题过两圆：和：交点的圆系方程为（）补充：①　上述圆系不包括；②　2）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③　过直线与圆交点的圆系方程为6.过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：8湖州市弘大培训学校①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即求解k，得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线，则切线方程为。(2)过圆上一点的切线方程：圆(x—a)2+(y—b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)=r2特别地，过圆

6、上一点的切线方程为.例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为。7．切点弦(1)过⊙C：外一点作⊙C的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为：8.切线长：若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为d=．9.圆心的三个重要几何性质：①　圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②　圆心在某一条弦的中垂线上；③　两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10.两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆C1：x2+y2—2x=0和圆C2：x2+y2+4y=0，试判断圆和位置关系，

7、若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。8湖州市弘大培训学校一、求圆的方程例1(06重庆卷文)以点为圆心且与直线相切的圆的方程为()(A)(B)(C)(D)二、位置关系问题例2(06安徽卷文)直线与圆没有公共点，则的取值范围是()(A)(B)(C)(D)三、切线问题例3(06重庆卷理)过坐标原点且与圆相切的直线方程为()(A)或(B)或(C)或(D)或四、弦长问题例4(06天津卷理)设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则.五、夹角问题例5(06全国卷一文)从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()(A)(B)(C)(D)0六、圆心

8、角问题例6(06全国卷二)过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率.8湖州市弘大培训学校七、最值问题例7(06湖南卷文)圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是()(A)30(B)18(C)(D)八、综合问题例8(06湖南卷理)若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率k取值范围_______________圆的方程1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是A.－1

9、圆所得弦长为2，求此圆的方程.3.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则（）A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0D.D+E+F=04.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条5.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.6.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P