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1、GCT线性代数辅导第一讲 行列式一.行列式的定义l一阶行列式定义为l二阶行列式定义为l在阶行列式中，划去元素所在的第行第列，剩余元素构成阶行列式，称为元素的余子式，记作．l令，称为的代数余子式．l阶行列式定义为 ． 二.行列式的性质1.行列式中行列互换，其值不变．2.行列式中两行对换，其值变号．–3.行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外．4.行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和．由以上四条性质，还能推出下面几条性质5.行列式中如果有两行元素对
2、应相等，则行列式的值为０．6.行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列式的值为０．7.行列式中如果有一行元素全为０，则行列式的值为０．8.行列式中某行元素的倍加到另一行，其值不变．三.阶行列式展开性质等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即 l按列展开定理 l阶行列式的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于零．即 l按列展开的性质 四.特殊行列式l;l上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同.五.计算行列式l消零降阶法.l消为特殊行
3、列式（上（下）三角行列式或和对角行列式）..典型习题1.=（）。（）2.设的代数余子式，则=（）（-2）3．中的系数是（）（2）4．=（）（）5．设，则=（）（1）6．（）（）7．，则（），（0）8．，则（）()(或)9.设则(8M)10.的根的个数是（）（1）11.解方程()12.设是方程的三个根,则行列式的值为()(0)第二讲矩阵一.矩阵概念和运算1.矩阵的定义和相等.2.加法,数乘,乘法,转置,方阵的幂乘的定义及性质.l尤其是矩阵乘法不满足交换律和消去律.满足结合律,左(右)乘分配律等.l若是阶方阵,则l
4、特殊方阵3.逆矩阵l定义：l可逆l公式：l可逆矩阵的运算性质4.伴随矩阵l定义：l基本关系式：l与逆矩阵的关系：l行列式：l秩：5．矩阵方程l设是阶方阵，是矩阵，若可逆，则矩阵方程有解，其解为l设是阶方阵，是矩阵，若可逆，则矩阵方程有解，其解为二.初等变换l矩阵的初等行（列）变换：（１）交换两行（列）；（２）用一个非零常数乘某一行（列）；（３）某行（列）的倍加到另一行（列）上．l(初等行变换)三.矩阵的秩1.定义l在矩阵中，任取行列，位于这行列交叉处的个元素按其原来的次序组成一个阶行列式，称为矩阵的一个阶子式．
5、l若矩阵中有一个阶子式不为零，而所有阶子式全为零，则称矩阵的秩为。矩阵的秩记作．l显然有中有一个阶子式不为零；中所有阶子式全为零．对于阶方阵，对于阶方阵，若，则称是满秩方阵．2.重要定理对矩阵施行初等变换不改变矩阵的秩．3.矩阵的秩的求法l阶梯形矩阵满足以下条件的矩阵称为阶梯形：（１）所有零行都在矩阵的底部；（２）非零行的第一个元素称为主元，每个主元在前一行主元的右方；l(初等变换)阶梯形,则中主元的个数4.矩阵的秩有以下一些常用的性质：（１）．.（２）．（３） （4）若，则，其中为矩阵的列数．（5）若可逆，
6、则．若可逆，则．典型习题１．都是阶阵,则下列结论不正确的是()A.B.C.D.(A)2.，且，求， ．(-108,32/3)3．,则()4.设则中第3行第2列的元素是A.B.C.1D.(B)5.，则（）()6.都是阶阵,.则下列结论正确的是()A.B.或C.D.(B)7.设都是阶阵,满足.则A.B.C.D.(A)８．设.则下列结论不正确的是() A．可逆.B..不可逆.C.可逆D.可逆 (B)9.设，则()10． .设,则(A)1或2(A)1或3(A)2或3(A)3或4(A)11．，则（）。(1)12．设，
7、（）时。(-3)13．设则（）。(1)14.设则A.B.C.D.(D)15.设,三阶矩阵,且满足,则A.B.C.D.(A)第三讲向量一.向量组线性相关与线性无关1.向量组的线性组合与线性表示l设是维向量，是数，则称为向量的一个线性组合．l若,称可由线性表出．２．线性相关与线性无关定义设是维向量，若存在不全为零的数，使得 ，则称线性相关．否则称线性无关．定理若线性无关，而线性相关,则可由 线性表出,，且表示法惟一．判断l设是维向量,线性相关<存在某个向量可被其余个向量线性表出．l个维向量线性相关l个维向量必线性相
8、关l增加向量组向量的个数,不改变向量组的线性相关性.减少向量组向量的个数,不改变向量组的线性无关性.l增加向量组向量的维数,不改变向量组的线性无关性.减少向量组向量的维数,不改变向量组的线性相关性.l含有零向量的向量组必线性相关.l含有两个相同向量的向量组必线性相关.二.向量组的秩和极大线性无关组1.定义设向量组是向量组的一个部分组．满足１）线性无关；２）向量组的每一个向量都可以由向量
