《导数的综合应用》word版

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1、导数的综合应用★★★高考在考什么【考题回放】1.(06江西卷)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f¢(x)³0,则必有(C)A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)£2f(1)C.f(0)+f(2)³2f(1)D.f(0)+f(2)>2f(1)解:依题意,当x³1时,f¢(x)³0,函数f(x)在(1,+¥)上是增函数;当x<1时,f¢(x)£0,f(x)在(-¥,1)上是减函数,故f(x)当x=1时取得最小值,即有f(0)³f(1),f(2)³f(1),故选C2.(06全国II)过点(-1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切

2、线为(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=0(C)x+y+1=0(D)x-y+1=0解:y¢=2x+1,设切点坐标为(x0,y0),则切线的斜率为2x0+1,且y0=x02+x0+1于是切线方程为y-(x02+x0+1)=(2x0+1)(x-x0),因为点(-1,0)在切线上,可解得x0=0或-4,代入可验正D正确。选D3.(06四川卷)曲线y=4x-x3在点(-1,-3)处的切线方程是D(A)y=7x+4(B)y=7x+2(C)y=x-4(D)y=x-2解:曲线y=4x-x3,导数y¢=4-3x2,在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1,所以切线方程是y=x-2

3、,选D.4.(06天津卷)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f¢(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f¢(x)在(a,b)内的图象如图所示,函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有1个,选A.5.(浙江卷)f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是(A)-2(B)0(C)2(D)4解:f¢(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f¢(x)=0可得x=0

4、或2(2舍去),当-1£x<0时,f¢(x)>0,当0

5、.从而g(x)=f(x)-f¢(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数,所以g(0)=0得c=0,由奇函数定义得b=3;(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=x3-6x,从而g¢(x)=3x2-6,由此可知,和是函数g(x)是单调递增区间;是函数g(x)是单调递减区间;g(x)在时,取得极大值,极大值为,g(x)在时,取得极小值,极小值为。★★★高考要考什么【考点透视】从近几年的高考命题分析,高考对到导数的考查可分为三个层次:第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景,求导公式和求导法则。第二层次是导数的简单应用,包括

6、求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的增减性等;第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起,设计综合试题。【热点透析】导数综合试题,主要有以下几方面的内容:1.函数,导数,不等式综合在一起,解决单调性,参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;2.函数,导数,方程,不等式综合在一起,解决极值,最值等问题,这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题;3.利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关

7、的问题;4.通过构造函数,以导数为工具,证明不等式.5.导数与其他方面的知识的综合★★★高考将考什么【范例1】设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-。(1)求a、b、c、d的值;(2)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得过此两点的切线互相垂直?试证明你的结论;(3)若x1,x2∈[-1,1]时,求证:

8、f(x1)-f(x2)

9、≤。解答(1)∵函数f(x)图象关于原点对称,∴对任意实数x,都有f(-x)=-f(x).∴-ax3-2bx2-cx+4d=-a

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