含参数不等式成立问题中参数范围的确定

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1、含参数不等式成立问题中参数范围的确定一．恒成立问题（全称命题）1．分离参数法例1：（2009海南一模）设，其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2，若当时有意义,求a的取值范围。解析：当时，有意义，故有令，只要对在上的最大值，此不等式成立即可。故我们可以利用函数的最值分离出参数a。解：由时，有意义得：，由指数函数单调性知上式右边的函数的最大值是＝故a>温馨提示：适用题型；（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证明一些不等式。例2：（2009东营一模）已知向量：，函数，若图象的相邻两对称轴间的距离为（1）求的解析式

2、；（2）若对任意实数，恒有成立，求实数m的取值范围.解：（1）∵相邻两对称轴的距离为（2），又若对任意，恒有解得例3：（2009北京市一模）已知函数图象上一点的切线斜率为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。解：（Ⅰ）∴，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又∴的值域是（Ⅲ）令∴要使恒成立，只需，即（1）当时解得；（2）当时；（3）当时解得；综上所述所求t的范围是特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化；2主参换位法例4：若对于任意a，函数的值恒大于0，求x的取值范围。分析：此题若

3、把它看成x的二次函数，由于a,x都要变，则函数的最小值很难求出，思路受阻。若视a为主元，则给解题带来转机。解：设，把它看成关于a的直线，由题意知，直线恒在横轴下方。所以解得：或或例5：对于（0，3）上的一切实数x,不等式恒成立，求实数m的取值范围。分析：一般的思路是求x的表达式，利用条件求m的取值范围。但求x的表达式时，两边必须除以有关m的式子，涉及对m讨论，显得麻烦。解：若设，把它看成是关于x的直线，由题意知直线恒在x的轴的下方。所以解得：3构建函数法（1）构造一次函数例6：若对一切，不等式恒成立，求实数x的取值范围。解：原不等式变形为，现在考虑p的一次函数：∴在上恒成立∴解得：或∴x

4、的取值范围为注：本题对于一切不等式恒成立，因此应视p为主元，视x为参数，把不等式左边变成关于p的一次函数型。（2）造二次函数例7：对于，恒成立，求实数m的范围。解：原不等式变形为：即令，∴令＝∴题意为>0在上恒成立。∴或＝－4×1×()<0或>0解得：或或∴，即m的取值范围为：4数形结合法例8：若不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。解析：由题意知：在内恒成立。在同一坐标系内分别作出和的图象因为时，的图象位于函数的图象上方，当a>1时，显见不成立。故0

5、图象教容易作出的，可以考虑作出函数图象，用函数图象的直观性解决不等式或方程的恒成立的问题，也非常容易得到意想不到的效果。二存在问题（特称命题）例9（2009济宁一模）已知函数.（Ⅰ）当时，使不等式，求实数的取值范围；解：（Ⅰ）当时，由，得函数在区间为增函数，则当时。故要使使不等式成立，只需即可。例10（2009泰安一模）已知函数（I）试确定t的取值范围，使得函数上为单调函数；（II）求证：；（III）求证：对于任意的，并确定这样的的个数。解：（I）因为……1分（II）证：因为处取得极小值e（III）证：因为，①当上有解，且只有一解………………11分②当，所以上有解，且有两解③当上有且只有

6、一解；