和差化积、积化和差、万能公式

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1、正、余弦和差化积公式　　指高中数学三角函数部分的一组恒等式　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]【注意右式前的负号】　　　以上四组公式可以由积化和差公式推导得到证明过程　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程　　因为　　sin(α+β)=sin

2、αcosβ+cosαsinβ，　　sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，　　将以上两式的左右两边分别相加，得　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，　　设α+β=θ，α-β=φ　　那么　　α=(θ+φ)/2,β=（θ-φ）/2　　把α，β的值代入，即得　　sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]正切的和差化积　　tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）　　cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)　　tanα+cotβ=cos(α-β)/(

3、cosα·sinβ)　　tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)　　证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ　　=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)　　=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边　　∴等式成立注意事项　　在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次　　口诀　　正加正，正在前，余加余，余并肩　　正减正，余在前，余减余，负正弦　　反之亦然5　　生动的口诀：（和差化积）　　帅+帅

4、=帅哥　　帅-帅=哥帅　　咕+咕=咕咕　　哥-哥=负嫂嫂　　反之亦然记忆方法　　和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。结果乘以2　　这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因此乘以2是必须的。　　也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：　　cos(α-β)-cos(α+β)　　=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)

5、]　　=2sinαsinβ　　故最后需要乘以2。只有同名三角函数能和差化积　　无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。乘积项中的角要除以2　　在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α和β，这两个角应该是(α+β)/2和(α-β)/2，也就是乘积项中角的形式。　　注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；而只有

6、和差化积公式中有“乘以2”。使用哪两种三角函数的积　　这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差角”(α-β)/2的三角函数名。5　　是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。　　(α-β)/2的三角函数名规律为：和化为积时，以cos(α-β)/2的形式出现；反之，以sin(α-β)/2的形式出现。　　由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积，那么α和β调换位

7、置对结果没有影响，也就是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2，结果应当是一样的，从而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2；另一种情况可以类似说明。余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号　　这是一个特殊情况，完全可以死记下来。当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如(0,π]内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，cosα小于cosβ。但是这时对应的(α+β)/2和(α-β)/2在(0,π)的范围内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前面，要么就在式子的最前面加上负号。积化和差公式　　sin

8、αsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2（注意：此时差的余弦在和的余弦前面）