非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义

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1、定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题.2.考查简单定积分的求解.3.考查曲边梯形面积的求解.4.与几何概型相结合考查.[归纳·知识整合]1.定积分(1)定积分的相关概念:在f(x)dx中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分f(x)dx的几何意义是由直线x=a,x=b(

2、a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).②一般情况下,定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x14轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.(3)定积分的基本性质:①kf(x)dx=kf(x)dx.②[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx.③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx.[探究] 1.若积分变量为t,则f(x)dx与f(t)dt是否相等?提示:相等.2.一个函数的导数是唯一的,反

3、过来导函数的原函数唯一吗?提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算.3.定积分[f(x)-g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么?提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积.2.微积分基本定理:如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.为了方便,常把

4、F(b)-F(a)记成F(x),即f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a).课前预测:1.dx等于(  )A.2ln2  B.-2ln2C.-ln2D.ln22.(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)=t2-t+2,质点作直线运动,则此物体在时间[1,2]内的位移为(  )14A.B.C.D.3.(教材习题改编)直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积为________.4.(教材改编题)dx=________.5.由y=,直线y=-x+所围成的封闭图形的面积为________考点一利用微积分基本定理求定积分[例1] 利用微积分基本定

5、理求下列定积分:(1)(x2+2x+1)dx;(2)(sinx-cosx)dx;(3)x(x+1)dx;(4)dx; (5)sin2dx.———————————————————求定积分的一般步骤:(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值;(5)计算原始定积分的值.强化训练:1.求下列定积分:(1)

6、x-1

7、dx;(2)dx.考点二利用定积分的几何意义求定积分14[例2] dx=______

8、__.变式:在本例中,改变积分上限,求dx的值. ———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分.(2)利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小.强化训练:2.(2014·福建模拟)已知函数f(x)=(cost-sint)dt(x>0),则f(x)的最大值为________.考点三:利用定积分求平面图形的面积  [例3] (2014·山东高考)由曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为(  )A.   B.4   C.D.6变式训练:若将“

9、y=x-2”改为“y=-x+2”,将“y轴”改为“x轴”,如何求解?———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图.(2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限.14(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差.(4)计算定积分,写出答案.强化训练:3.(2014·郑州模拟)如图,曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=所围成的图形(阴影部分)的面积为(  )A.   B.   C.  D.考点四:定积分在物理中的应用[例4] 列车以72km/h的速

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