平面向量数量积的运算律

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1、平面向量数量积的运算律！
第9二教$育资Z源2网平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.?教学过程：一、复习引入：1．

2、两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量

3、a

4、

5、b

6、cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=

7、a

8、

9、b

10、cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：

11、b

12、cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当ɧ

13、53;为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为

14、b

15、；当=180时投影为

16、b

17、.4．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影

18、b

19、cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea=ae=

20、a

21、cos；2ab

22、ab=03当a与b同向时，ab=

23、a

24、

25、b

26、；当a与b反向时，ab=

27、a

28、

29、b

30、.特别的aa=

31、a

32、2或4cos=；5

33、ab

34、≤

35、a

36、

37、b

38、二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：ab=ba证：设a，b夹角为，则ab=

39、a

40、

41、b

42、cos，ba=

43、b

44、

45、a

46、cos

47、1553;∴ab=ba2．数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)证：若>0，(a)b=

48、a

49、

50、b

51、cos，(ab)=

52、a

53、

54、b

55、cos，a(b)=

56、a

57、

58、b

59、cos，若<0，(a)b=

60、a

61、

62、b

63、cos()=

64、a

65、

66、b

67、(cos)

68、=

69、a

70、

71、b

72、cos，(ab)=

73、a

74、

75、b

76、cos，a(b)=

77、a

78、

79、b

80、cos()=

81、a

82、

83、b

84、(cos)=

85、a

86、

87、b

88、cos.3．分配律：(a+b)c=ac+bc在平面内取一点O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即

89、a+b

90、cos=

91、a

92、c

93、os1+

94、b

95、cos2∴

96、c

97、

98、a+b

99、cos=

100、c

101、

102、a

103、cos1+

104、c

105、

106、b

107、cos2，∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc说明：（1）一般地，(ａ•ｂ)с≠ａ（ｂ•с）（2）ａ•с＝ｂ•с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ•с＋ａ

108、•ｄ＋ｂ•с＋ｂ•ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ•ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.解：由(a+3b)(