算法设计与分析基础习题参考答案

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1、习题1.15..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,mmodn)对每一对正整数m,n都成立.Hint:根据除法的定义不难证明:如果d整除u和v,那么d一定能整除u±v;如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=mmodn=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会

2、如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?Hint:对于任何形如0<=m

3、,c,某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数)算法Quadratic(a,b,c)//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法//输入:实系数a,b,c//输出:实根或者无解信息67Ifa≠0D←b*b-4*a*cIfD>0temp←2*ax1←(-b+sqrt(D))/tempx2←(-b-sqrt(D))/tempreturnx1,x2elseifD=0return–b/(2*a)elsereturn“norealroots”else//a=0ifb≠0ret

4、urn–c/belse//a=b=0ifc=0return“norealnumbers”elsereturn“norealroots”5.描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法a.用文字描述b.用伪代码描述解答：a.将十进制整数转换为二进制整数的算法输入：一个正整数n输出：正整数n相应的二进制数第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出b.伪代码算法DectoBin(n)//将十进制整数n转换为二进制整数的算法//输入：

5、正整数n//输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中i=1whilen!=0do{Bin[i]=n%2;n=(int)n/2;i++;}whilei!=0do{printBin[i];i--;}9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略)对这个算法做尽可能多的改进.算法MinDistance(A[0..n-1])//输入:数组A[0..n-1]67//输出:thesmallestdistancedbetweentwoofitselements习题1.3考虑这样一个排序算法,该

6、算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a.该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序67c.该算法不在位.额外空间forSandCount[]4.(古老的七桥问题)习题1.41.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度.a.删除数组的第i个元素(1<=i

7、<=n)b.删除有序数组的第i个元素(依然有序)hints:a.Replacetheithelementwiththelastelementanddecreasethearraysizeof1b.Replacetheithelementwithaspecialsymbolthatcannotbeavalueofthearray’selement(e.g.,0foranarrayofpositivenumbers)tomarktheithpositionisempty.(“lazydeletion”)习题2.11欧几里得算法的时间复

8、杂度欧几里得算法,又称辗转相除法,用于求两个自然数的最大公约数.算法的思想很简单,基于下面的数论等式gcd(a,b)=gcd(b,amodb)其中gcd(a,b)表示a和b的最大公约数,mod是模运算,即求a除以b的余数.算法如下:输入:两个整数a