高中数学圆的方程专题复习

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1、~高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： 　　⑴以为圆心的同心圆系方程 　　⑵过直线与圆的交点的圆系方程 　　 　　⑶过两圆和圆的交点的圆系方程 　　此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 　　当时，得到两圆公共弦所在直线方程　　 　　例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 　　分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与

2、系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。··~ 　　解：过直线与圆的交点的圆系方程为： 　　，即 　　………………….① 　　依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得 　　又满足方程①，则故 　　例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 　　解：圆和的公共弦方程为 　　，即 　　过直线与圆的交点的圆系方程为 　　，即 　　依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求

3、圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程 例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。··~解：由原方程得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①即，∴直线过定点P（9，－4）注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。例4已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；

4、（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.得∵m∈R，∴2x+y－7=0，x=3，x+y－4=0，y=1，即l恒过定点A（3，1）.∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，∴l的方程为2x－y－5=0.评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论··~类型二：直线与圆的位置关系例5、若直线与曲线有且只有一个公共点，求

5、实数的取值范围.解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.变式练习：1.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.解析：利用数形结合.答案：－1＜k≤1或k=－例6圆上到直线的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆的圆心为，半径．设圆心到直线的距离为，则．如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又．∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法

6、二：符合题意的点是平行于直线··~，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为，则，∴，即，或，也即，或．设圆的圆心到直线、的距离为、，则，．∴与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心到直线的距离为，则．∴圆到距离为1的点有两个．显然，上述误解中的是圆心到直线的距离，，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．类型三：圆中的最值问题例7：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是解：∵圆的圆心为（2，2），半径，∴圆心到直线的

7、距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.例8　(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．(2)已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．解：(1)(法1)由圆的标准方程．··~可设圆的参数方程为（是参数）．则（其中）．所以，．(法2)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．所以．．所以．．(2)(法1)由得圆的参数方程：是参数．则．令，得，

8、．所以，．即的最大值为，最小值为．此时．所以的最大值为，最小值为．(法2)设，则．由于是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，··~两条切线的斜率分别是最大、最小值．由，得．所以的最大值为，最