奇偶性和单调性与典型例题

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1、奇偶性与单调性及典型例题　　函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.　　难点磁场　　(★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数.　　案例探究　　［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0

2、1，1)上单调递减.　　命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.　　知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.　　错解分析：本题对思维能力要求较高，如果"赋值"不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.　　技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.　　证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为

3、奇函数.　　(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.　　令00,1－x1x2>0，∴>0,　　又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0　　∴x2－x1<1－x2x1,　　∴0<<1,由题意知f()<0，　　即f(x2)

4、并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)

5、则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，　　∴f(－x2)3a2－2a+1.解之，得0

6、：　　(1)判断函数的奇偶性与单调性　　若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.　　若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.　　同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的"磁场"及"训练"认真体会，用好数与形的统一.　　复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.　　(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.　　歼灭难点训练　　一、选择题　　1.(★★★★)下列函数中的奇函数是()　　A.f(

7、x)=(x－1)B.f(x)=　　C.f(x)=D.f(x)=　　2.(★★★★★)函数f(x)=的图象()　　A.关于x轴对称B.关于y轴对称　　C.关于原点对称D.关于直线x=1对称　　二、填空题　　3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(

8、x+1

9、)的一个单调递减区间是_________.　　4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0

10、函数f(x)=ax+(a>1).　　(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.　　(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.　　6.(★★★★★)求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数.　　7.(★★★★)设函数f(x)的定义