高中数学平面解析几何初步经典例题

高中数学平面解析几何初步经典例题

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1、~直线和圆的方程一、知识导学 1.两点间的距离公式:不论A(1,1),B(2,2)在坐标平面上什么位置,都有d=

2、AB

3、=,特别地,与坐标轴平行的线段的长

4、AB

5、=

6、2-1

7、或

8、AB

9、=

10、2-1

11、.2.定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(1,1),B(2,2),P(,)之间数量关系的一个公式,其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的,一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点,B为终点,P为分点,则定比分点公式是.当P点为AB的中点时,λ=1,此

12、时中点坐标公式是.3.直线的倾斜角和斜率的关系(1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率.(2)斜率存在的直线,其斜率与倾斜角α之间的关系是=tanα.4.确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多,但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.名称方程说明适用条件斜截式为直线的斜率b为直线的纵截距倾斜角为90°的直线不能用此式点斜式()为直线上的已知点,为直线的斜率倾斜角为90°的直线不能用此式两点式=(),()是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1为直线的横截距b为直线的纵截距过

13、(0,0)及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式,,分别为斜率、横截距和纵截距A、B不全为零··~5.两条直线的夹角。当两直线的斜率,都存在且·≠-1时,tanθ=,当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.另外还应注意到:“到角”公式与“夹角”公式的区别.6.怎么判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时,若两直线的斜率都存在,可以用斜率的关系来判断;若直线的斜率不存在,则必须用一般式的平行垂直条件来判断.(1)斜率存在且不重合的两条直线1∶,2∶,有以下结论:①1∥2=,且b1=b2②1⊥2·=-1(2

14、)对于直线1∶,2∶,当1,2,1,2都不为零时,有以下结论:①1∥2=≠②1⊥212+12=0③1与2相交≠④1与2重合==7.点到直线的距离公式.(1)已知一点P()及一条直线:,则点P到直线的距离d=;(2)两平行直线1:,2:之间的距离d=.8.确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式,要知道两种形式之间的相互转化及相互联系(1)圆的标准方程:,其中(,b)是圆心坐标,是圆的半径;(2)圆的一般方程:(>0··~),圆心坐标为(-,-),半径为=.二、疑难知识导析 1.直线与圆的位置关系的判

15、定方法.(1)方法一 直线:;圆:.一元二次方程(2)方法二 直线:;圆:,圆心(,b)到直线的距离为d=2.两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为1,2,

16、O1O2

17、为圆心距,则两圆位置关系如下:

18、O1O2

19、>1+2两圆外离;

20、O1O2

21、=1+2两圆外切;

22、1-2

23、<

24、O1O2

25、<1+2两圆相交;

26、O1O2

27、=

28、1-2

29、两圆内切;0<

30、O1O2

31、<

32、1-2

33、两圆内含.三、经典例题导讲 [例1]直线l经过P(2,3),且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.错解:设直线方程为:,又过P

34、(2,3),∴,求得a=5∴直线方程为x+y-5=0.错因:直线方程的截距式:的条件是:≠0且b≠0,本题忽略了这一情形.正解:在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:,∴直线方程为y=x综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=x.[例2]已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.错解:设动点P坐标为(x,y).由已知3··~化简3=x2-2x+1+y2-6y+9.当x≥0时得x2-5x+y2-6y+10=0.①当x<0时得x2+x+y2-

35、6y+10=0.②错因:上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得(x-)2+(y-3)2=①和(x+)2+(y-3)2=-②两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.正解: 接前面的过程,∵方程①化为(x-)2+(y-3)2=,方程②化为(x+)2+(y-3)2=-,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为:(x-)2+(y-3)2=(x≥0)[例3]m是什么数时,关于x,y的方程(2m2+m-1)x2+

36、(m2-m+2)y2+m+2=0的图象表示一个圆?错解:欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆,只要A=C≠0,得2m2+m-1=m2-m+2,即m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,∴当m=1或m=-3时,x2和y2项的系数相等,这时,原方程的图象表示一个圆错因:A=C,是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件,而非充要条件,其充要条件是:A=C≠0且<0.正

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