高中数学论文：“高开高走，震荡回补”教导数

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1、“高开高走，震荡回补”教导数　“高开高走和震荡回补”是股市中的专业名词，指的是指数开盘高开，然后一路上扬，在高位运行一定时间后，顺势回调。就是说：“起点高，运行好”。这里是指在教学中高观点、大立意，大刀阔斧地删去枝节末叶。笔者就以人教A版选修2-2第一章第一节“导数的概念”为例，提一点个人肤浅的看法。以求抛砖引玉。一、课标要求以及现行教法存在的问题1.课标要求：普通高中数学学科指导意见[1]对导数及其几何意义这一节里这样说：①通过研究膨胀率、速度等反映导数应用的事例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率

2、刻画现实问题的过程，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。2.现行教法存在的问题：从教材“1.1变化率与导数”中为我们呈现了“由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程”的三种方式：①数值逼近；②几何直观感受；③解析式抽象。看得出，教材遵循了《指导意见》的要求，还在导数的几何意义部分渗透了“以直代曲”的逼近思想。正是这三种不同的方式，强化了导数的思想和内涵，是导数概念学习的核心。但另一方面教材给出了“1.1.1变化率问题”、“1.1.2导数的概念”、“1.1.3

3、导数的几何意义”三小节内容，教师教学用书也提供了3个课时参考，人们就自然认为每个小节的内容教学1个课时。于是，现行的教学也就设计成通过大量实例来不厌其烦地讲一个“平均变化率”问题。学生学得无趣，老师教的也累。 毋庸讳言，教科书很难与教学设计完全一致。上文说道，导数概念的核心是由平均变化率到瞬时变化率的极限思想与过程，于是笔者就设计了这样一节内容让学生去重点体验它。二、我的教学设计方案1.高开高走问题1:在初中，圆的切线是如何定义的？学生基本上有以下几种答案：1）与圆只有一个公共点的直线；42）过圆上一点

4、，且垂直于该点和圆心连线的直线；3）与圆心距离等于半径的直线；教师补充初中平面几何中圆的切线定义：如果直线和圆有惟一公共点，则称直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。问题2：圆是一种特殊的曲线，这个切线定义能否推到为一般曲线（圆锥曲线）的切线呢？通过分析学生得出如图1这样的情况虽然直线和曲线只有一个交点，但显然这条直线不是此曲线的切线。可见，要对切线定义作出改进，方能使其适用于一般曲线。问题3：如何改进？学生提出：与曲线只有一个公共点，且位于曲线一侧（或“不穿过”曲线）的直线（实际上

5、古希腊数学家就是这样定义曲线的切线的）。图1问题4：在以下各图（图2，图3）形中，直线是否为曲线在的切线呢？图2图3对于图3学生一致认为是切线，但是不符合上文中切线的定义；而图2学生分成“是”与“不是”两派，在课堂上形成了热烈的争辩。到底是不是切线呢？因为由问题3所改进的切线的定义，无法判断，所以应继续改进切线的定义。此时学生陷入沉思。老师加以适当点拨。如果图2不是切线，那是什么？割线？问题5：曲线的割线怎样定义？仿照圆的割线定义学生得到：一条直线与一条曲线有两个公共点，就说这条直线是这条曲线的割线（如

6、图4）。问题6:割线与切线有何区别和联系？图4先让学生思考然后老师利用几何画板与学生共同探究。利用电脑动画演示当点Q沿曲线C无限趋近于点P时（如图5），割线的变化情况。问题7：切线的定义？图54通过演示学生得出切线的定义：设曲线C是函数的图象，点是曲线C上一点。作割线PQ当点Q沿着曲线C无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT。我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P处的切线。从这个定义出发，学生很快回答了问题4。这时教师进一步提出以下问题。问题8：如何计算切线的斜率？根据切线的定义

7、，学生想到切线跟割线有关系，于是通过割线的斜率来求切线的斜率就水到渠成了。（图6）图6因为曲线C是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，要求出切线的斜率就够了。设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即tan=。（因为学生在物理中已经学过的意义，所以这里只需介绍极限符号lim即可）。老师总结点评：我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，

8、也可以求出它在某一点处的切线了.问题9：导数定义如何（学生讨论，交流，教师规范结论）？y=f(x)在x=x0处的导数,记作(也可记为)导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，即=k2．震荡回补高开高走学习导数的概念后，需要一定的实例来让学生充分体会，于是借助教材中的气球的膨胀率问题和高台跳水问题，让学生震荡回补定义。例题1：(气球膨胀率问题)震荡回补1：感受气球膨胀率大小的变化以及平均