《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答.pdf

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1、第五章相似矩阵及二次型5.1目的要求n1．要理解n维实向量空间R的基与向量关于基的坐标的概念，会求一组基到另外一组基的过渡矩阵，以及基变换后向量的坐标变换.n2．要熟悉维欧式空间nR中向量的内积运算及其性质，会求向量长度与向量间的夹角.3．要理解标准正交基的概念，会用施密特正交化方法由一组基求一组标准正交基.4．要熟悉正交矩阵及其性质.5．理解实二次型与实对称矩阵间的一一对应关系；熟练掌握二次型的矩阵表示TTf()xxA=x，其中A=A.6．熟悉矩阵A合同（或相合）于B的定义，理解合同关系是等价关系.T7．

2、熟练掌握化二次型xAx为平方和（标准形）或求实对称矩阵A的相合标准形的3种方法：正交变换法；配方法；和同型初等行、列变换法.8．了解惯性定理，会求矩阵A的正、负惯性指数和符号差，会求二次型的规范形.9．熟练掌握正定二次型（正定矩阵）的定义和判别方法.10．熟悉实对称矩阵A正定（二次型正定）的各种等价命题（正定的充要条件）.11．理解A正定的必要条件：ai>=0(1,2,L,);det()nA>0.ii12．会利用正交变换化二次型为标准型和极坐标平移方法判别一般二次曲线和曲面的类型.5.2重要公式和结论TT1

3、.两向量内积计算公式：若αβ==()aa12LLann,(bb12b)，则它们的内积为[αβ,]=+++abab1122Labnn.性质有：(1)对称性，[α,,ββ]=[α]；(2)线性性，[α+=+βγ,,,][αγ][βγ]，[kkα,βα]=[,β]；(3)正定性，[αα,]≥0，且αα=0,⇔=[α]02222.向量的长度计算公式：αα==[],α(aa++L+a)；12n1单位向量：α=1；性质有：(1)正定性，α≥0，且αα=0⇔=0；(2)齐次性，kkα=α；(3)三角步等式，α+≤+βα

4、β；(4)柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式，222[α,βαβ]≤；[αβ,]3.两向量的夹角计算公式：θ=arccos,0≤≤θπ.αβ4.两向量正交：[αβ,0]=；5.向量组的有关结论(1)正交向量组必为线性无关组；(2)若向量β与α,,,αLα中的每个向量都正交，则β与α,,,αLα的任一线性组合也正交.12s12s6.施密特（Schmidt）正交化法：把α,,,αLα规范正交化12r[βα12,](1)正交化β=α，β=−αβ，L，11221[]ββ11,[βα12,,rr]

5、[βα][βαr−1,r]β=−αββ−−−Lβ；rr12r−1[]ββ11,,[]ββ22[]ββrr−−1,1βββ12r(2)单位化ηη==,,L,η=12rβββ12rT−1T7.A是正交矩阵⇔=AAEAA⇔=⇔A的列向量是标准正交组⇔A的行向量是标准正交组.8.方阵A的特征值与特征向量(1)满足λEA−=0的λ值都是A的特征值；特征向量是非零向量，特征值问题只针对方阵；特征值与特征向量不一定唯一；(2)设n阶方阵A=()a的全部特征值为λ,,,λLλ，则有λλLλ=A；ij12n12nλ+++=+

6、++λλLLaaa；12nn1122n(3)n阶方阵A可逆⇔A的个特征值全不为零；n−1−1−1∗(4)设λ是A的特征值，则λ是A的特征值；kλ是kA的特征值；Aλ是A的特2mm征值；λ是A的特征值；(5)互异的特征值的特征向量线性无关；互异特征值对应的各自线性无关的特征向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关.(6)阶方阵nA的任一t重特征值λ对应的线性无关的特征向量的个数不超过t.iii−19.两个n阶方阵A、B相似，即AB⇔∃可逆矩阵P，使得PAPB=;性质有：(1)反身性，AA；(2)对称性，AB

7、BA⇒；⎧R()ARB=()⎪⎪AB=(3)传递性，ABBC,⇒AC；(4)AB⇒⎨；mm⎪AB⎪⎩ϕϕ()AB()−11−(5)AB，且A可逆⇒AB−11kk−(6)特别的是，如果存在可逆矩阵P使得PAP=Λ⇔APP=Λ，−1ϕϕ()APP=Λ()；(7)ABA⇒与B有相同的特征多项式，即有相同的特征值；10.相似对角化：若n阶方阵A的n个特征值为λ,,,λLλ，对应的n个线性无关的12n特征向量为p,,,pLp，设Ppp=(Lp)，则P可逆，且12n12n⎛⎞λ1⎜⎟λPAP−1=

8、⎜⎟2；⎜⎟O⎜⎟λ⎝⎠n11.阶方阵nA与对角矩阵Λ相似，则A有线性无关的特征向量；n12.阶方阵nA有n个不同的特征值，则A可对角化；13.阶方阵nA的特征方程有重根，则此时不一定有个线性无关的特征向量，故不一n定能对角化，只有当有n个线性无关的特征向量时才可以对角化；14.对称矩阵：(1)对称矩阵的特征值均为实数；(2)对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交；(3)n阶对称阵A的任一t重特征值λ对应的线性无