考研高数知识点总结.pdf

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1、考研数学知识点-高等数学一.函数的概念sinx公式1�lim=11�用变上、下限积分表示的函数x→0xxdynu�1�y=∫f(t)dt�其中f(t)连续�则=f(x)⎛1⎞⎛1⎞0dx公式2�lim⎜1+⎟=e�lim⎜1+⎟=e�n→∞⎝n⎠u→∞⎝u⎠ϕ2(x)�2�y=f(t)dt�其中ϕ(x)�ϕ(x)可导�f(t)∫ϕ(x)1211()lim1+vv=e连续�v→0dy4�用无穷小重要性质和等价无穷小代换则=f[ϕ(x)]ϕ′(x)−f[ϕ(x)]ϕ′(x)2211dx5�用泰勒公式�比用等价无穷小更深刻��数学一和2�两个

2、无穷小的比较数学二�f(x)x2xn设limf(x)=0�limg(x)=0�且lim=l当x→0时�ex=1+x++Λ++0(xn)g(x)2!n!352n+1�1�l=0�称f(x)是比g(x)高阶的无穷小�记以xx()nx(2n+1)sinx=x−++Λ+−1+0x3!5!(2n+1)!f(x)=0[g(x)]�称g(x)是比f(x)低阶的无穷242nxx()nx(2n)小。cosx=1−+−Λ+−1+0x2!4!(2n)!�2�l≠0�称f(x)与g(x)是同阶无穷小。23n()xx()n+1x(n)ln1+x=x−+−Λ+−1

3、+0x�3�l=1�称f(x)与g(x)是等价无穷小�记以23nf(x)~g(x)352n+1xx()n+1x(2n+1)arctanx=x−+−Λ+−1+0x352n+13�常见的等价无穷小当x→0时()αα(α−1)2α(α−1)Λ[α−(n−1)]n(n)1+x=1+αx+x+Λ+x+0xsinx~x�tanx~x�arcsinx~x�arctanx~x2!n!12x1−cosx~x�e−1~x�ln(1+x)~x�26�洛必达法则α0(1+x)−1~αx法则1��型�设�1�limf(x)=0�limg(x)=00二�求极限的方

4、法�2�x变化过程中�f′(x)�g′(x)皆存在1�利用极限的四则运算和幂指数运算法则2�两个准则f′(x)准则1�单调有界数列极限一定存在�3�lim=A�或∞�g′(x)�1�若x≤x�n为正整数�又x≥m�n为正n+1nnf(x)则lim=A�或∞�整数��则limx=A存在�且A≥mng(x)n→∞�2�若x≥x�n为正整数�又x≤M�n为正f′(x)n+1nn�注�如果lim不存在且不是无穷大量情形�则g′(x)整数��则limx=A存在�且A≤Mnn→∞f(x)不能得出lim不存在且不是无穷大量情形�准则2��夹逼定理�设

5、g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)∞若limg(x)=A�limh(x)=A�则limf(x)=A法则2��型�设�1�limf(x)=∞�limg(x)=∞∞3�两个重要公式�2�x变化过程中�f′(x)�g′(x)皆存在1Editedby杨凯钧2005年10月考研数学知识点-高等数学f′(x)值�如果对于区间[a,b]上的任一点x�总有f(x)≤M��3�lim=A�或∞�g′(x)则称M为函数f(x)在[a,b]上的最大值。同样可以定义最f(x)则lim=A�或∞�小值m。g(x)定理3��介值定理�如果函数f(x)在闭区间[a

6、,b]上7�利用导数定义求极限连续�且其最大值和最小值分别为M和m�则对于介于mf(x+∆x)−f(x)00基本公式�lim=f′(x)[如果0∆x→0∆x和M之间的任何实数c�在[a,b]上至少存在一个ξ�使存在]得8�利用定积分定义求极限f(ξ)=cn1⎛k⎞1基本公式lim∑f⎜⎟=∫f(x)dx[如果存在]n→∞nk=1⎝n⎠0推论�如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续�且f(a)三�函数的间断点的分类与f(b)异号�则在(a,b)内至少存在一个点ξ�使得函数的间断点分为两类��1�第一类间断点f(ξ)=0设x是函数y=f(

7、x)的间断点。如果f(x)在间断点0这个推论也称为零点定理五�导数与微分计算x处的左、右极限都存在�则称x是f(x)的第一类间断001�导数与微分表点。′(c)=0d(c)=0第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。′(α)α−1αα−1x=αx�α实常数�d(x)=αxdx�α实常数��2�第二类间断点′(sinx)=cosxdsinx=cosxdx第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。′(cosx)=−sinxdcosx=−sinxdx常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。()′22tanx=secxdtanx=se

8、cxdx四�闭区间上连续函数的性质()′22cotx=−cscxdcotx=−cscxdx在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)�有以下几个基本()′secx=secxtanxdsecx=secxtanxd