放缩法证明数列不等式的策略分析.pdf

《放缩法证明数列不等式的策略分析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、·辅教导学·数学通讯———２０１７年第４期（上半月）１放缩法证明数列不等式的策略分析王洪军（内蒙古自治区呼和浩特市内蒙古师范大学附属中学，０１００２０）证明数列不等式的思维量很大，构造性强，需１１１１１１＝－＋－＋…＋－．要较高的解题技巧，能综合考察学生的数学素养，２３４５２ｎ２ｎ＋１这是无法进行“相消”操作的，因为相邻两个因此倍受命题者的青睐．我们通常运用放缩法来处理此类问题，对于放缩法最重要的是如何把握分式的分母中的ａｋ＋１＝２ｋ＋１和ａｋ＋１＝２（ｋ＋１）放缩的“尺度”，当学生看到例题中精妙的放缩方＝２ｋ＋２并不相等！法时，他们最想知道的是这些“奇思妙想

2、”是怎么鉴于此，若要进行“裂项相消”，需要将想到的？笔者认为，任何“精妙”的解法并非偶然现１放缩为分母是相邻两项的形式，有了２ｎ（２ｎ＋１）象，而是问题本质的必然表现，“授人以鱼，不如授放缩的方向，结合原式结构，给出如下方法．人以渔”．本文以一些例题为载体谈谈如何合理地方法一因为ａ（ａ）＝２ｎ（２ｎ＋１）＝４ｎ２ｎｎ＋１利用放缩法证明数列不等式，还“冰冷的美丽”以２＋２ｎ≥３ｎ＋３ｎ＝３ｎ（ｎ＋１），当ｎ＝１时等号成“火热的思考”．立．所以，一、重新认识“熟悉”模型１１例１（２０１４年高考广东卷文科１９题）设各项＝ａｎ（ａｎ＋１）２ｎ（２ｎ＋１）均为正数的数列

3、｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且Ｓｎ满足１１１１１２（ｎ２２＊≤·＝（－），Ｓｎ－＋ｎ－３）Ｓｎ－３（ｎ＋ｎ）＝０，ｎ∈Ｎ．３ｎ（ｎ＋１）３ｎｎ＋１（１）求ａ１的值；故（２）求数列｛ａ｝的通项公式；ｎ１１１＋＋…＋１ａ１（ａ１＋１）ａ２（ａ２＋１）ａｎ（ａｎ＋１）（３）证明：对一切正整数ｎ，有＋ａ１（ａ１＋１）１１１１１１≤（１－＋－＋…＋－）１１１３２２３ｎｎ＋１＋…＋＜．ａ２（ａ２＋１）ａｎ（ａｎ＋１）３１１１＝（１－）＜．易求得ａ１＝２，ａｎ＝２ｎ，本文主要考察第３ｎ＋１３（３）问．方法二因为ａｎ（ａｎ＋１）＝２ｎ（２ｎ＋１）＝在教学过程中笔者发现，因为１＝

4、４ｎ（ｎ＋１）＞４（ｎ－１）（ｎ＋１－１），所以ａｎ（ａｎ＋１）２４４１１１，很多学生看到分式结构便开始进行＝２ｎ（２ｎ＋１）ａｎ（ａｎ＋１）２ｎ（２ｎ＋１）“裂项”的操作，下意识地认为之后便“相消”了，进１１＜·而便得出错误的推导，但自己却未察觉，究其原４（ｎ－１）（ｎ＋１－１）４４因，是没有理解数列的通项到底是什么结构时才１１１能在求和中运用“裂项相消”法．＝［－］，４１１ｎ－（ｎ＋１）－１１１４４我们知道＝＝－ａｎ（ａｎ＋１）２ｎ（２ｎ＋１）２ｎ１１１故＋＋…＋１ａ１（ａ１＋１）ａ２（ａ２＋１）ａｎ（ａｎ＋１），由此可得２ｎ＋１１１１１１＜［（－）＋（－

5、）１１１４１１１１＋＋…＋１－２－２－３－ａ１（ａ１＋１）ａ２（ａ２＋１）ａｎ（ａｎ＋１）４４４４２数学通讯———２０１７年第４期（上半月）·辅教导学·１１７＋…＋（－）］．１１４ｎ－ｎ＋１－４４方法二放缩过度是由于每一项放缩的程度＝１（４－１）＜１．１１１４３１３过大，当ｎ≥２时，＝２＜（ｎ－１）ｎ，在放缩的ｎ＋１－ａｎｎ４１通过上面的分析，我们看到，放缩的方向是使过程中分母减少了ｎ，当ｎ≥２时，可以通过＝ａｎ得分母为相邻（或相隔）项，再通过“裂项相消”法１１１１１２＜２＝（－），使得放缩时分化为较少的几项，进而得到相应结果．需要强调的ｎｎ－１２ｎ－１ｎ＋１

6、是，放缩的方法并不唯一，往往需要一个尝试的母只减少１，这样会有效防止放缩过度．过程．１７当ｎ＝１时，＝１＜；ａ１４二、适时“局部调整”当ｎ≥２时，通过上述方法可得例２（２０１３年高考广东卷理科１９题）设数列１１１１１１｛ａ｝的前ｎ项和为Ｓ，已知ａ，２Ｓｎ＋＋…＋＜１＋［（１－）＋（－ｎｎ１＝１＝ａｎ＋１－ａ１ａ２ａｎ２３２ｎ１１１７１１１２２，ｎ∈Ｎ＊）＋…＋（－）］＝－（＋ｎ－ｎ－．４ｎ－１ｎ＋１４２ｎ３３１７（１）求ａ２的值；）＜，ｎ＋１４（２）求数列｛ａ｝的通项公式；ｎ１１１综上，对一切正整数ｎ，有＋＋…＋＜（３）证明：对一切正整数ｎ，有ａ１ａ２ａｎ１１

7、１７７＋＋…＋＜．．ａ１ａ２ａｎ４４易求得ａ２，本文仅考察第（３）问．注意到方法三根据方法二中处理问题的思路，我ｎ＝ｎ１１们也可以得到下面的处理方法．＝，这是分式结构，我们可以通过放缩成相邻２ａｎｎ１７当ｎ＝１时，＝１＜，１１ａ１４项来处理．注意到，当ｎ≥２时，＝２＜ａｎｎ１１１４当ｎ≥２时，＝２＜＝２＝１１１ａｎｎｎ２－１４ｎ－１（ｎ－１）ｎ＝－，然而，４ｎ－１ｎ１１１＋１＋…＋１＜１＋（１－１）＋（１－１）２（－），因此，２ｎ－１２ｎ＋１ａ１ａ２ａｎ２２３１１１１１１１１１）＝２－１＋＋…＋＜１＋２［（－）＋（－）＋…＋（－＜２，ａ１ａ２ａｎ３５５７ｎ－１

8、ｎｎ１１５２５７与待证结果相比放缩过度