第五章定积分

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2、第五章 定积分一、内容精要（一）基本概念定积分的概念是由求曲边梯形面积，变力作功，已知变速直线运动的速度求路程，密度不均质线段的质量所产生。定义3.3 设函数f(x)在闭区间上有定义，在闭区间[a,b]内任意插入n-1个分点将分成n个小区间，记，，作乘积（称为积分元），把这些乘积相加得到和式（称为积分和式）设，若极限存在唯一且该极限值与区是[a,b]的分法及分点的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数f(x)在上的定积分，记作，即.否则称f(x)在上不可积.注1由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了

3、不定积分的符号。注2若存在，区间进行特殊分割，分点进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在考题中经常出现，请读者要真正理解。注3定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关，即定积分的几何意义: 若f(x)在上可积，且则表示曲线与直线所围成的曲边梯形的面积.

4、同样，变力所作的功（其中f(x)是变力）变速直线运动的路程（是瞬时速度），密度不均质直线段的质量（其中是线密度）。规定 广义积分定义3.4 设函数在区间上连续，称记号   （1）为函数在无穷

5、区间上的广义积分（或第一类广义积分）若（1）式右端极限存在，称广义积分收敛，该极限值称为广义积分的值，否则称广义积分发散。由在连续必有原函数，设的原函数为。于是从而广义积分可以按照正常定积分计算方式来计算，即若（存在）=A，则收敛，且若不存在，则发散。同理可得 若存在，则广义积分收敛，否则发散。若，都存在，则收敛，否则发散。定义3.5 设在区间上连续，不存在（称a点为瑕点），且，称记号与上面研究方式相同，可得

6、若存在，则广义积分收敛，否则发散。同理若在上连续，不存在（称b点为瑕点），有若在上连续，不存在（称c点为瑕点）

7、，定义当且仅当都收敛时，收敛，且值等于的值之和。注若在上连续，（常数），则可看成正常积分，事实上，定义知在上连续，即存在，而，由于在上连续，知变下限函数在上连续，有，即故可看成正常积分。若广义积分收敛，也有线性运算法则，不等式性质，也有凑微分，变量替换，分部积分公式，换句话说可以像正常的定积分一样运算。第一p广义积分（a>0，常数）.当时，当时，知时收敛，时发散第二p广义积分.令，有

8、由第一p广义积分知，当，即时收敛，当，即时发散。 （二）重要定理与公式定理3.2若函数f(x)在闭区间上可积，则f(x)在上有界，反之不

9、成立。例 .事实上，因为不论把[0，1]分割得多么细，在每个小区间中，总能找到有理数，无理数，知知不存在。定理3.3 若f(x)在闭区间上连续，则f(x)在上可积，反之不成立.定理3.4 若f(x)在闭区间上只有有限个间断点且有界，则f(x)在上可积，反之不成立.定理3.5 若f(x)在闭区间上单调，则f(x)在上可积，反之不成立.定积分的性质性质1   性质2 （线性运算法则）设在上可积，对任何常数则.该性质用于定积分的计算与定积分的证明.性质3 （区间的可加性），若f(x)在以a,b,c为端点构成的最大区间上可积，

10、则不论a,b,c顺序如何，有该性质用于计算分段函数的定积分与定积分的证明.性质4 若f(x)在上可积且则.

11、性质5 若f(x),g(x)在上可积且则性质6 若f(x)在上连续，且f(x)0则性质7 若f(x),g(x)在上连续且但,则.性质8 若f(x)在上可积，则.性质9 若f(x)在上可积，在区间上，m≤f(x)≤M，m，M是常数，则性质4、5、6、7、8、9主要用于定积分不等式的证明及不通过定积分的计算，估计定积分值的范围.性质10 （积分中值定理）若f(x)在闭区间上连续，则至少存在一点，使而称为f(x)在区间

12、上的平均值，即闭区间[a,b]上连续函数f(x)的平均值是  注：这里的与是不同的。性质131变上限积分求导定理 设f(x)连续，可导，则1．定积分计算的方法（1）牛顿一莱布尼兹公式 若f(x)在上连续,则.（2）凑微分 （3）变量替换  

13、（4）分部积分 设在上导数连续，则具体的用法是如果能够计算出就可以计算出定积分的凑微分、变量替换、分部积分与不定积分中三种方法适合的被积函数相同，即不定积分用三种的哪一种方法，定积分也用三种方法的哪一种。（5）设f(x)在上连续，则事实上，     而故得证推论证 由于且为偶函数，

14、为奇函数，于是（6）设f(x)为周期函数且连续，周期为T，则.事实上

15、由于于是（7）设f(x)在[0,1]上连续，则事实上    移项两边同除以2得.微元法根据所给条件，画图，适当建立坐标系，在图中把所需曲线的方程表示出来，确定要求量Q所分布的区间且区间上的总量Q具有等于各小区间上部分量之和的特点.（1）取近似求微元.选取区间。写