特征方程法求递推数列的通项公式

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1、WORD格式可编辑特征方程法求解递推关系中的数列通项一、(一阶线性递推式)设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题,然而这样做太过繁琐,而且在猜想通项公式中容易出错,本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法:针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程;借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为,则当时,为常数列,即,其中是以为公比的等比数列,即.证明:因为由特征方程得作换元则当时,,数列是以为公比的等比数列,故当时,,为0数列,故(证毕)下

2、面列举两例,说明定理1的应用.例1.已知数列满足:求解:作方程当时,数列是以为公比的等比数列.于是例2.已知数列满足递推关系:其中专业技术资料分享WORD格式可编辑为虚数单位。当取何值时,数列是常数数列?解:作方程则要使为常数,即则必须二、(二阶线性递推式)定理2:对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。例3:已知数列满足,求数列的通项公式。解法一(待定系数

3、——迭加法)由,得,且。则数列是以为首项,为公比的等比数列,于是。把代入,得专业技术资料分享WORD格式可编辑,,,。把以上各式相加,得。。解法二(特征根法):数列:,的特征方程是:。,。又由,于是故三、(分式递推式)定理3:如果数列满足下列条件:已知的值且对于,都有(其中p、q、r、h均为常数,且专业技术资料分享WORD格式可编辑),那么,可作特征方程.(1)当特征方程有两个相同的根(称作特征根)时,若则若,则其中特别地,当存在使时,无穷数列不存在.(2)当特征方程有两个相异的根、(称作特征根)时,则,其中例3、已知数列满足性质:对于且求的通项

4、公式.解:依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根,使用定理2的第(2)部分,则有∴专业技术资料分享WORD格式可编辑∴即例5.已知数列满足:对于都有(1)若求(2)若求(3)若求(4)当取哪些值时,无穷数列不存在?解:作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第(1)部分解答.(1)∵对于都有(2)∵∴令,得.故数列从第5项开始都不存在,当≤4,时,.专业技术资料分享WORD格式可编辑(3)∵∴∴令则∴对于∴(4)、显然当时,数列从第2项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知,时,数列是存在的,当时,则有令则得且≥

5、2.∴当(其中且N≥2)时,数列从第项开始便不存在.于是知:当在集合或且≥2}上取值时,无穷数列都不存在.练习题:求下列数列的通项公式:1、在数列中,,求。(key:)2、在数列中,且,求。(key:)专业技术资料分享WORD格式可编辑1、在数列中,,求。(key:)2、在数列中,,求。(key:)3、在数列中,,求。(key:)4、在数列中,,且.求.(key:时,;时,)5、在数列中,(是非0常数).求.(key:();)()8、在数列中,给定,.求.(key:;若,上式不能应用,此时,附定理3的证明定理3(分式递推问题):如果数列满足下列条

6、件:已知的值且对于专业技术资料分享WORD格式可编辑,都有(其中p、q、r、h均为常数,且),那么,可作特征方程.(1)当特征方程有两个相同的根(称作特征根)时,若则若,则其中特别地,当存在使时,无穷数列不存在.(2)当特征方程有两个相异的根、(称作特征根)时,则,其中证明:先证明定理的第(1)部分.作交换则①专业技术资料分享WORD格式可编辑∵是特征方程的根,∴将该式代入①式得②将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是③当,即=时,由②式得故当即时,由②、③两式可得此时可对②式作如下变化:④由是方程的两个相同的根可以求得∴将此

7、式代入④式得令则故数列是以为公差的等差数列.∴专业技术资料分享WORD格式可编辑其中当时,当存在使时,无意义.故此时,无穷数列是不存在的.再证明定理的第(2)部分如下:∵特征方程有两个相异的根、,∴其中必有一个特征根不等于,不妨令于是可作变换故,将代入再整理得⑤由第(1)部分的证明过程知不是特征方程的根,故故所以由⑤式可得:⑥∵特征方程有两个相异根、方程专业技术资料分享WORD格式可编辑有两个相异根、,而方程与方程又是同解方程.∴将上两式代入⑥式得当即时,数列是等比数列,公比为.此时对于都有当即时,上式也成立.由且可知所以(证毕)注:当时,会退化

8、为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.专业技术资料分享

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