全等三角形证明方法总结.pdf

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1、数学培优方法总结1-2证明三角形全等（含线段相等、角相等）的几种方法一、三角形全等的判定：①三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。【最简单，考得也最少，考试过程中没有注意点】②有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。【最常考，而且考试就考“角是不是两边夹角”】当题目中得出“2对边及1对角相等”时，一定要检查“角是不是两边夹角”。③有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。题目中只要得出“1对边及2对角相等”，那就能证明三角④有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。形全等，唯一要做的就是区分好是ASA还是AAS⑤直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应

2、相等的两个直角三角形全等(HL)。直角三角形全等的特殊证法。但当该方法不行时，前面的4种方法也能用来证明直角三角形全等。如何找斜边：斜边是直角所对的边，只要找90°的角所对的边就能找到斜边二、全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。②全等三角形的周长、面积相等。③全等三角形的对应边上的高对应相等。④全等三角形的对应角的角平分线相等。⑤全等三角形的对应边上的中线相等。几种常见全等三角形的基本图形：【平移】DADADAEFBCEFBCBECF【旋转】EAEDABCDBC【折叠/对称】AAAADAECECBCBCOBDBDDEDBC1三、找全等三角形的方法：①可以从结

3、论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；②可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；④若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。★三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。❶缺个角的条件：1、公共角2、对顶角3、两全等三角形的对应角相等4、等腰三角形5、同角或等角的补角（余角）6、等角加（减）等角7、平行线8、等于同一角的两个角相等❷缺条边的条件：1、公共边2、中点3、等量和4、等量差5、角平分线性质6、等腰三角形28、线段垂直平分线上的点7、等面积法9、两全等三角形的对应边相等到

4、线段两端距离相等10、等于同一线段的两线段相等数形结合找条件【规律总结】找另一边→SSS找夹边→ASA■已知两边找夹角→SAS■已知两角找直角→HL找除夹边外的任一边→AAS找与边相邻的另一角→ASA边为角的邻边找边的对角→AAS找角的另一边→SAS■已知一边一角边为角的对边→找任一角→AAS■题目中的隐藏条件1.公共边、公共角2.对顶角3.正方形→4条边都相等、4个角都是90°4.等边三角形（正三角形）→3条边都相等、3个角都是60°5.同一个三角形中，一个角是90°，一个角是45°→三角形是等腰直角三角形，两条腰相等。同一个三角形中，一个角是90°，两条边相等→三角形是等腰直角三角形，

5、两个底角为45°6.两直线互相垂直→以垂足为顶点的4个角都是90°7.同角（等角）的余角、补角相等8.外角定理（最不容易想到，当题目无从下手时，就应该想一想外角定理）9.两三角形全等→对应边、对应角、对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线、周长、面积等都相等3四、构造辅助线的常用方法：❶关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。基础知识与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型OP是∠MON的角平分线过点P向两边作垂线，构截取OB=OA，构成三角形角平分线被垂直，顺势延长角平分线+平行线得等腰成全等三角形全等造全等，则P是中

6、点三角形图中有角平分线，可向两边图中有角平分线，沿它对折角平分线加垂线，“三线合角平分线+平行线，等腰三作垂线关系现一”试试看角形必呈现角平分线的常见倒角模型及相关结论已知△ABC中，BP，CP分别为角平分线且交于点P，探讨∠BPC与∠A的关系角平分线倒角模型111结论BPC90ABPC90ABPCA2224关于角平分线常用的辅助线方法：（1）截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例题1：如上右图所示，AB//C

7、D，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。（2）角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。则有：DE=DF，△OED≌△OFD。。例题2：如上右图所示，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求