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1、桂林市教育学院学报综合版年第期总第三十期浅谈数学分析中的化归思想和化归法陈向阳,。化归法是数学中一种非常普通的方法化归思想已经渗透到数学的各个分支中本文试。从数学分析教材和教学的角度谈谈化归思想的渗透及化归法的应用,化归的基本思想是把甲问题的求解化为乙问题的求解然后通过乙问题的求解反回去获,,,,,,得甲问题的求解也就是迁回前进其目的就是化难为易化繁为简化暗为明总之通,。过变化把这一问题归结为另一问题以便求得解答,我们说化归思想和化归法自始至终渗透在数学分析教材中可从下面儿方面来认识、,,。一我们知道数学分析研究的对象是函数研究函数的方法就是极限数学分析中几,,乎所有的
2、概念都离不开极限而极限概念是由某些实际问题的求精确解而产生而求这些实。际问题的过程中用到了化归法,我国古代数学家刘徽的割圆术是正确理解极限概念的兵体实例其方法是要求圆的周,,,,长而圆的周长是一条封闭曲线其长是未知的不会求的转而求圆的内接正多边形的周,,。,,长其长是可求的已知的越大圆的内接正边形的周长越接近圆的周长当无限增分割,,,大时内接正边形的周长就是圆的周长其过程是求圆的周长求圆内接正边形的—转化为周长一‘求正边形的边长。化为一。,这过程就是一个以直代曲的过程把未知的曲线的长化为己知的真线段的长这是化归法的,,,具体应用可见极限定义中就含有化归思想另外微积分学中
3、两个重要概念导数和定积分。的定义的引入既用到极限概念其过程又包含化归思想导数概念是由求瞬时速度和切线斜率,,。两个实例引入的求瞬时速度是通过求平均速度当△‘时而得到求切线的斜率是由。,求割线的斜率来逼进的这里将瞬时速度化为平均速度将切线斜率化为割线斜率都是化未。。知为已知定积分概念的引入是由曲边梯形面积和非匀速直线运动的路程这两个实例引入,其过程也用到化归思想将曲边梯形的面积化为直边梯形的面积以直代曲将非匀速直线,。,、,运动化为匀速直线运动也是化未知为已知此外求曲线的长度曲面面积二重积分的,,定义用部分和数列来定义级数的敛散性等都包含有化归思想教学中在开始讲极限概念,
4、,,,时要注意强调化归思想通过逐步学习使学生逐步加深化未知为已知的思想在后面的,、以,。学习中学生就容易想到以直代曲有限代替无限等方法指导他们的学习、,,二数学分析教材中许多定理的证明解题方法等用到化归法有些甚至是化归法的具。体形式、,。、,化归的基本方法有变形法恒等变形非恒等变形典型化方法就是把。、,,“”,“”一般性问题归为个别典型的洁形逐步逼班法也叫退步法就是退退到原,“”又“”,,。、始而不失去重要性的地方当然退是为了进往前进又叫逼进法方,。法关系映射的简称、、,实数连续性这章中儿个重要定理确界定理柯西收敛准则就是利用闭区间套定,理采取逐步逼进法将那一点上确界或
5、下确界或极限套出来的有限覆盖定理的证明也是采‘,,用反证法用逐步逼进法证明的泰勒定理是将可阶求导的涵数化为心项式的桥梁因而泰。勒公式本身就是一个用多项式去逼进复杂函数的具体形式、,。,教材中许多结论证明题的证明都体现着典型化方法我们知道在论理上任何函,、、‘、。,、‘、、,,,、,‘二。,。、一、,’。、。一、、一‘数的积’分包括有理函数三角函数’和‘““’’一’‘、简’”单‘无“理函数‘都可”以化’为‘牛丁”『’曰”呷‘一一“一“一一一。,“的积分因而只要求出这两种形式的积分就行了将很复杂的求函数积分的,,,问题典型化为两种简单形式的积分再如讨论待定型的极限只要讨论型
6、和型就令令,·,,“,。,,,一行了因为其它五种。阅的都可化为这两种待定型的形式谭一,,,就是将一般问题化为两种典型题还有讨论同号级数只须讨论正号级数就行了三种无,,穷积分也典型化为一种无穷积分三种瑕积分的敛散性也只要讨论一种就行了这些都是通,、,过典型化问题的求解而得到一般问题的求解许多证明题如证函数在区间。,。、。上连续可导只要证对任意〔在连续可导就行了、教材中极限。及不等式的证明和求积分更多的用到变形法,。极限的证明往往要进行不等式的放大或缩小这是非恒等变形,,例女口利用实数连公理单调有界数列极限来证明数列‘证、明,瓤谧十人,二,、、、,。、,,。,,,,。、。丫
7、十,、“,、“一、“’‘丁收敛付要证之’单调递增一一即证’·门·‘‘’一一一一午十二,沐,一飞、上””一、令、,,,这个不等式书上都是采用二项式定理展开证明很繁冗我们可采用均值不等式,’设〔⋯⋯则,·’。,。》刀⋯时等号成立来证明一、“明不等式卜令万“变形为台‘“‘二’卜一十击厂一一个·十一、、—左边十了了气上、竺贵工立分一立份泛、—母生、,”’二‘,了卜音卜击··十即‘丁‘十卜长,,上述证明简单明了首先把不等式化归为均值不等式的形式卜只有相十’,,·十,乘就利用‘的乘法恒等性将卜乘上,这样就有‘个数相乘了可以直接十,。“”利用均值不等式
