列主消元法课程设计

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1、《数值分析》课程设计列主消元法解方程组院（系）名称信息工程学院专业班级学号学生姓名指导教师2013年05月31日数值分析课程设计评阅书题目列主消元法解方程组学生姓名学号指导教师评语及成绩指导教师签名：年月日答辩评语及成绩答辩教师签名：年月日教研室意见总成绩：教研室主任签名：年月日课程设计任务书2012—2013学年第二学期专业班级：学号：姓名：课程设计名称：数值分析Ⅰ、Ⅱ设计题目：列主消元法解方程组完成期限：自2013年05月21日至2013年05月31日共10天设计依据、要求及主要内容：一、设计目的熟练掌握求解方程组的列主消元法，并应用Matlab软件编写列主消元法解方程组的程序，应用列主

2、消元法求解线性方程组.二、设计内容(1)掌握列主消元法的背景及其构造原理；(2)编写列主元高斯消去法和列主消元法的Matlab程序；(3)调用编写的函数求解方程组；(4)通过所学知识对列主消元法有一个充分的认识并对该课程设计进行总结.三、设计要求1．了解列主消元法的背景及构造原理.2．正确编写列主消元法的MATLAB程序并调用求解方程组.3.对列主消元法求解方程组有一个充分认识，并进行总结.计划答辩时间：2013年06月5日工作任务与工作量要求：查阅文献资料不少于3篇，课程设计报告1篇不少于3000字．指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：2013年05月20日课程设计说明书（论文

3、）第II页列主消元法解方程组摘要在自然科学和工程中有很多问题的解决归结为求解线性方程组或者非线性方程组的数学问题。求解线性方程组的直接法主要有选主元高斯消去法、平方根法、追赶法等.列主元素消去法既是选主元高斯消去法的一种，也是实际计算中常用的部分选主元消去法.本文即是讨论利用列主元素消去法求解线性方程组问题.通过掌握的列主消元法的背景及构造原理，编写MATLAB程序并调用函数成功求解线性方程组.并对其结果进行分析与讨论，得到结果比之高斯法更为精确.关键词：列主消元法,MATLAB,线性方程组课程设计说明书（论文）第II页目录1前　言12列主元消去法的背景13列主元消去法的构造原理23.1列主

4、高斯消元法44MATLAB程序实现54.1列主高斯消元法75算法分析9总结10参考文献10课程设计说明书（论文）第11页1前言在科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解线性代数方程组，其中所产生的线性方程组，其系数矩阵大致可分为两种：一种是低阶稠密矩阵；另一类是大型稀疏矩阵（此类矩阵阶数高，但零元素较多）.对于这两种矩阵，我们可以把线性代数方程组的数值解法大致的分为两类：直接法和迭代法。迭代法一般用来求解大型稀疏矩阵方程组（本文不予讨论）；直接法是目前计算机上解低阶稠密矩阵的有效方法，如果计算过程中没有舍入误差，则此种方法通过有限步四则运算可求的方程组的精确解，但实际计算中由于舍入误差的存

5、在和影响，这种方法也只能求得方程组的近似解.直接法主要有选主元素高斯消去法、平方根法、追赶法等。本文所要讨论的列主元素消去法就是选主元素高斯消去法中的一种.2列主元消去法的背景　　高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，也是解线性方程组问题中较为常见的一种数值方法。但在采取高斯消去法解方程组时，当采用绝对值很小的主元素时，可能导致计算结果的失败，故在消去法中应避免采用绝对值很小的主元素。对于一般的线性方程组，需要引进选主元的技巧，即在高斯消去法的每一步应该在系数矩阵或消元后的低价矩阵中选取绝对值最大的元素作为主元素，保持乘数，以便减少计算过程中舍入误差对计算解的影响.选主元素消元法则是对

6、高斯消去法的改进，是解低价稠密矩阵方程组的有效方法。选主元素消元法则避免了采用绝对值很小的主元素.选主元素消去法主要有完全主元素消去法与列主元素消去法两种。完全主元素消去法即是每次按行列选取绝对值最大的元素作为主元素，进行行列交换，之后再完成消元计算.在完全主元素消去法计算过程中舍入误差能得到有效的控制，对计算的影响较小，具有更好的数值稳定性.列主元素消去法则是对完全主元素消去法的又一次改进。列主元素消去法在完全主元素消去法的基础上减少了在选主元素时所要花费的一定的计算时间.此论文将介绍列主元消去法的基本思想和原理.课程设计说明书（论文）第11页3列主元消去法的构造原理设有线性方程组其中，为

7、非奇异矩阵.方程组的增广矩阵为:首先在的第1列选取绝对值最大的元素作为主元素，即选择然后交换的第1行与第行（交换后增广矩阵为简单起见仍记为，其元素仍记为）.经过第1次消元计算得到与原方程组等价的方程组：其中上述过程可记为：重复上述计算过程，现假设已完成第k-1步的选主元素过程，交换两行并进行消元计此时约化为：课程设计说明书（论文）第11页其中的元素仍记为，的元素仍记为.第k步选主元素（在右下角方阵的第1列内选