初中几何辅助线大全

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1、三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形:例如:如图7-1:已知AC=BD,AD⊥AC于A,BC⊥BD于B,求证:AD=BC分析:欲证AD=BC,先证分别含有AD,BC的三角形全等,有几种方案:△ADC与△BCD,△AOD与△BOC,△ABD与△BAC,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角。证明:分别延长DA,CB,它们的延长交于E点,∵AD⊥ACBC⊥BD(已知)∴∠CAE=∠DBE=90°(垂直的定义)在△DBE与△CAE中∵∴△DBE≌△CAE(AAS)∴ED=ECEB=EA(全等三角形对应边相等)∴ED

2、-EA=EC-EB即:AD=BC。(当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件。)二、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。三、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。例如:如图9-1:在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD的延长于E。求证:BD=2CE分析:要证BD=2CE,想到要构造线段2CE,同时CE与∠ABC的平分线垂直,想到要将其延长。证明:分别延长BA,CE交于点F。∵BE⊥CF(已知)∴∠BEF=∠BEC=90°(垂直的定义)在△BEF与△BEC中,28∵∴△BEF≌△BEC(ASA)∴CE=FE

3、=CF(全等三角形对应边相等)∵∠BAC=90°BE⊥CF(已知)∴∠BAC=∠CAF=90°∠1+∠BDA=90°∠1+∠BFC=90°∴∠BDA=∠BFC在△ABD与△ACF中∴△ABD≌△ACF(AAS)∴BD=CF(全等三角形对应边相等)∴BD=2CE四、取线段中点构造全等三有形。例如:如图11-1:AB=DC,∠A=∠D求证:∠ABC=∠DCB。分析:由AB=DC,∠A=∠D,想到如取AD的中点N,连接NB,NC,再由SAS公理有△ABN≌△DCN,故BN=CN,∠ABN=∠DCN。下面只需证∠NBC=∠NCB,再取BC的中点M,连接MN,则由SSS公理有△NBM≌△NC

4、M,所以∠NBC=∠NCB。问题得证。证明:取AD,BC的中点N、M,连接NB,NM,NC。则AN=DN,BM=CM,在△ABN和△DCN中∵∴△ABN≌△DCN(SAS)∴∠ABN=∠DCNNB=NC(全等三角形对应边、角相等)在△NBM与△NCM中∵∴△NMB≌△NCM,(SSS)∴∠NBC=∠NCB(全等三角形对应角相等)∴∠NBC+∠ABN=∠NCB+∠DCN即∠ABC=∠DCB。28巧求三角形中线段的比值例1.如图1,在△ABC中,BD:DC=1:3,AE:ED=2:3,求AF:FC。解:过点D作DG//AC,交BF于点G所以DG:FC=BD:BC因为BD:DC=1:3所

5、以BD:BC=1:4即DG:FC=1:4,FC=4DG因为DG:AF=DE:AE又因为AE:ED=2:3所以DG:AF=3:2即所以AF:FC=:4DG=1:6例2.如图2,BC=CD,AF=FC,求EF:FD解:过点C作CG//DE交AB于点G,则有EF:GC=AF:AC因为AF=FC所以AF:AC=1:2即EF:GC=1:2,因为CG:DE=BC:BD又因为BC=CD所以BC:BD=1:2CG:DE=1:2即DE=2GC因为FD=ED-EF=所以EF:FD=小结:以上两例中,辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处,且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例

6、,让我们感受其中的奥妙!例3.如图3,BD:DC=1:3,AE:EB=2:3,求AF:FD。解:过点B作BG//AD,交CE延长线于点G。所以DF:BG=CD:CB因为BD:DC=1:3所以CD:CB=3:428即DF:BG=3:4,因为AF:BG=AE:EB又因为AE:EB=2:3所以AF:BG=2:3即所以AF:DF=例4.如图4,BD:DC=1:3,AF=FD,求EF:FC。解:过点D作DG//CE,交AB于点G所以EF:DG=AF:AD因为AF=FD所以AF:AD=1:2图4即EF:DG=1:2因为DG:CE=BD:BC,又因为BD:CD=1:3,所以BD:BC=1:4即D

7、G:CE=1:4,CE=4DG因为FC=CE-EF=所以EF:FC==1:7练习:1.如图5,BD=DC,AE:ED=1:5,求AF:FB。2.如图6,AD:DB=1:3,AE:EC=3:1,求BF:FC。答案:1、1:10;2.9:128二由角平分线想到的辅助线图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角

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