信号与噪声分析解析.doc

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1、信号与噪声分析确知信号分析1、周期信号的傅里叶级数任何一个周期为T的周期信号，只要满足狄里赫利条件，则可展开为傅里叶级数（2-1）式中，()；;(称为复振幅)；（是的共轭）。一般地，是一个复数，由确定周期信号的第n次谐波分量的幅度，它与频率之间的关系图形称为信号的幅度频谱。由于它不连续，仅存在于的整数倍处，故这种频谱是离散谱。许多情况下，利用信号的频谱进行分析比较直观方便。2、非周期信号的傅里叶变换（2-2）（2-3）式（2-2）和式（2-3）分别称为傅里叶正变换和傅里叶反变换，两式称为傅里叶变换对，表示为信号的傅里叶变换具有一些重要的特性，灵活运用这些特性可较快地

2、求出许多复杂信号的频谱密度函数，或从谱密度函数中求出原信号，因此掌握这些特性是非常有益的。其中较为重要且经常用到的一些性质和傅里叶变换对见附录二。3、卷积与相关函数（1）、卷积设有函数和，称积分为和的卷积，常用表示，即（2-4）时域卷积定理：令，，则有（2-5）频域卷积定理：25令，，则有（2-6）（2）、相关函数信号之间的相关程度，通常采用相关函数来表征，它是衡量信号之间关联或相似程度的一个函数。自相关函数：能量信号的自相关函数定义为（2-7）功率信号的自相关函数定义为（2-8）互相关函数：两个能量信号和的互相关函数定义为（2-9）两个功率信号和的互相关函数定义为

3、（2-10）其中，4、能量谱密度与功率谱密度（1）功率信号与能量信号如果一个信号在整个时间域（）内都存在，因此它具有无限大的能量，但其平均功率是有限的，我们称这种信号为功率信号。一般地，平均功率（在整个时间轴上平均）等于0，但其能量有限的信号我们称为能量信号。（2）、能量谱密度：定义单位频带内信号的能量为能量谱密度（简称能量谱），单位：焦/赫，用来表示。（2-11）能量信号在整个频率范围内的全部能量与能量谱之间的关系可表示为（2-12）可以证明：能量信号的自相关函数和能量谱密度是一对傅里叶变换，即（3）、功率谱密度：单位频带内信号的平均功率定义为功率谱密度（简称功率

4、谱），单位：瓦/赫，用来表示25（2-13）整个频率范围内信号的总功率与功率谱之间的关系可表示为（2-14）可以证明：功率信号的自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换，即2.1.2随机变量分析1、概率分布函数定义随机变量的概率分布函数是取值小于或等于某个数值的概率，即（2-15）上述定义中，随机变量可以是连续随机变量，也可以是离散随机变量。对于离散随机变量，其分布函数也可表示为（2-16）式中，是随机变量取值为的概率。2、概率密度函数对于连续随机变量，其分布函数对于一个非负函数有下式成立（2-17）则称为随机变量的概率密度函数（简称概率密度）。式（2-17）也可表示

5、为（2-18）3、随机变量的数字特征描述随机变量某些特征的数值就称为随机变量的数字特征。（1）、数学期望数学期望（简称均值）是用来描述随机变量X的统计平均值，它反映随机变量取值的集中位置。对于离散随机变量，设是其取值的概率，则其数学期望定义为（2-19）对于连续随机变量，其数学期望定义为（2-20）25式中，为随机变量的概率密度。数学期望的性质如下：1）若C为一常数，则常数的数学期望等于常数，即2）若有两个随机变量和，它们的数学期望和存在，则也存在，且有推广到多个随机变量的情况。若随机变量的数学期望都存在，则也存在，且有3）若随机变量和相互独立，且和存在，则也存在，

6、且有（2）、方差方差反映随机变量的取值偏离均值的程度。方差定义为随机变量与其数学期望之差的平方的数学期望。即（2-21）也常记为。方差的性质如下：1）常数的方差等于0，即2）设存在，C为常数，则=3）设和都存在，且和相互独立，则对于多个独立的随机变量，不难证明有（3）、n阶矩矩是随机变量更一般的数字特征。上面讨论的数学期望和方差都是矩的特例。随机变量的n阶矩（又称n阶原点矩）定义为：（2-22）除了原点矩外，还定义相对于均值的n阶矩为n阶中心矩，即25（2-23）2.1.3随机过程的分析我们定义随时间变化的无数个随机变量的集合为随机过程。随机过程的基本特征是：它是时

7、间t的函数，但在任一确定时刻上的取值是不确定的，是一个随机变量；随机过程的统计特性是通过其概率分布函数或数字特征来表述的。1、随机过程的分布函数和概率密度设表示一个随机过程，在任意给定的时刻其取值是一个随机变量。显然，这个随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述，我们称（2-24）为随机过程的一维分布函数。如果对的偏导数存在，即有（2-25）则称为的一维概率密度函数。任意给定，则的n维分布函数被定义为（2-26）如果存在（2-27）则称为的n维概率密度函数。2、随机过程的数字特征（1）、数学期望（统计平均值）（2-28）并记为。随机过程的数学期望是时