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《李庆扬-数值分析第五版第2章习题答案(20130625).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2章复习与思考题1、什么是拉格朗日插值基函数？他们是如何构造的？有何重要性质答：形如nxxilx()的基函数称为n节点的拉格朗日插值基函数。ni0xxii1ik主要性质有0,ik1）lx()nk,k1,ik2）lx()1n2n2、什么是牛顿基函数？它与单项式基{1,x,x,...,x}有何不同答：牛顿差值基函数为{1,(xx),(xx)(xx),...,(xx)(xx)...(xx)}00101n牛顿差值基函数中带有常数项xx,,...x，这有单项式基不同。01n3、什么是函数的n阶均差？它有何重要性质fxx[,,...,x,x]fxx[,,...,x,x]01n2n01n2n-1答：形如f
2、xx[,,...]x01nxxnn1称为fx()的k阶均差具有以下的基本性质1）均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性（拉格朗日插值函数的应用）K阶均差可以表示为函数值fx()，fx()，…fx()的线性组合，即01nkfx()jfxx[,,...]x01kj0（xxj-0）...(xjxj-1)(xjxj+1)...(xjxk)2）由性质1和k阶均差的性质fxx[,,...,x]fxx[,,...,x]01k01k-1fxx[,,...]x01kxxk0（分子前项多xk）3）若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，且节点xx,,...,x,x[a,b]，则n阶均差与导数的01n2n关系为n
3、1f()fxx[,,...]x01nn!4、写出n+1个点的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，他们有何异同答：n+1个点的拉格朗日插值多项式nnnxxiLx()ylx()y，(j1,2,....,n)nkkkkk00i0xxikikn+1个点的牛顿插值多项式afxx[,,...,x],(k1,2,....,n)kk01两者的主要差异是未知数不一致。拉格朗日插值多项式是系数知道，但基函数不知道。牛顿插值多项式是函数知道，但系数不知道。与一般多项式基本相同。5、插值多项式的确定相当于求解线性方程组Axy，其中系数矩阵A与使用的基函数有T关。y包含的是要满足函数值(,,...)yyy，用下列基底作
4、多项式插值时，试描述矩阵A中01n非零元素的分布。1）单项式基底2）拉格朗日基底3）牛顿基底答：2n1）单项式基底为{1,x,x,...,x}{,xxx,,...,x}，已知数为012n{,aaa,,...,a}则未知数为012n，则系数矩阵为12n1xx...x00012n1xx...x11112nA1xx...x222，无非零元素。...............12n1xx...xnnn{(),(),...,()}lxlxlx{,yy,y,...,y}2）拉格朗日基底为01n，已知数为012n{(),(),...,()}lxlxlx未知数为01n，则系数矩阵为未找到相关资料。3）牛顿基底为
5、{1,(xx),(xx)(xx),...,(xx)(xx)...(xx)}00101n，已知数为{,xxx,,...,x}{,aaa,,...,a}012n，未知数为012n，则系数矩阵为100...01xx0...0101xx(xx)(xx)...0202021A...............，为下三角矩阵，矩阵的上三角元n11xx(xx)(xx)...(xx)n0n0n1njj0素为0。6、用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低至高给出排序答：按照计算工作量，排序如下：牛顿插值、拉格朗日插值、多项式插值7、给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差
6、答：拉格朗日插值多项式余项n1f()n1Rf()fx()Lx()()x，进行误差估计时，对f()进行适当缩放即可。nnn1(n1)!牛顿插值多项式余项Rf()fx()Px()fxx[,,...,x]()x，可以直接求出。nn01nn18、埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值公式？答:埃尔米特插值最显著的特征是：即要求节点上的函数值相等，同时也要求节点上的到数值相等，甚至高阶导数值相等。泰勒公式nf()x002f()xnPx()fx()fx()(xx)(xx)...(xx)n000002!n!就是牛顿插值公式具有n重根()xx时的特殊形式，即()xx的极限
7、形式。00也是n阶导数值相等的埃尔米特插值公式。9、为什么高次多项式插值不能令人满意？分段地刺插值与单个高次多项式插值相比有何优点？答：根据龙格（Ronge）发现的现象，发现高次多项式插值Lx()近似fx()的效果并不好。n产生的主要原因是计算时的舍入误差引起。10、三次样条插值三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由。答：三次埃尔米特插值要求给出节点上的函数值和导数值，只有一阶导数
