两角和与差的余弦

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1、两角和与差的余弦（第一课时）一、教学目标：（一）知识目标：1、掌握利用平面内两点间的距离公式进行C(α+β)公式的推导；2、能用赋值法推导C(α-β)公式；3、初步学会公式的简单应用和逆用公式等基本技能。（二）能力目标：1、通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力；2、通过公式的灵活运用，培养学生的方程思想和变换能力。（三）德育目标：1、公式的推导过程，体现了知识间的内在联系；2、培养学生利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题；3、通过教师启发引导、培养学生勇于探索的精神和解决问题的优化意

2、识。（四）美育目标：通过鉴赏C(α±β)公式，发现两角和差的三角函数与单角α、β之间的和谐、轮换结构，让学生感受数学公式的匀称美感。并引导学生领会C(α±β)公式的强大功能。二、教学重难点1．教学重点：两角和与差的余弦公式的推导与运用。培养学生掌握获取知识，运用知识的一系列的数学方法。2．教学难点：余弦和角公式的推导以及运用公式进行化简、求值和证明，学会恰当赋值、逆用公式等技能。三、教学过程：（一）提出问题，产生对公式的需求。首先让学生通过具体实例消除对“cos(α+β)=cosα+cosβ”的误解，说

3、明两角和（差）的三角函数不能按分配律展开。并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。（二）预备知识xoyP1PP2P3α+βαβP41．通过观看动画演示，形象直观地结合勾股定理简要介绍平面内两点间距离公式。该公式应用十分广泛，要求学生记住。2．复习单位圆上点的坐标表示，为推导公式作铺垫。（结合以下问题，观看《几何画板》演示）（1）分别指出点P1、P、P2、P3的坐标？（2）弦P1P3的长如何表示？（3）如何构造弦P1P3的等量关系？[注]如何让推导公式的思路来得自然一些？课本出于叙述方便，

4、隐去了证明的思路。教师的任务就是要给出一种合理的思路，比如我们要表示α+β的余弦，那么就得作出α、β、α+β的角，当发现

5、P1P3

6、可以用cos(α+β)表示时，想到应该寻找与P1P3相等的弦，从而才想到作出角(-β)。这种思路和课本的叙述是不同的，但从思维的角度来讲，也许更具有某种合理性，更能激发同学通过积极思维去探索、发现问题。（三）公式推导1．根据“同圆中相等的圆心角所对的弦相等”得到距离等式2．将转化为三角恒等式，逐步变形整理成余弦的和角公式。[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[c

7、os(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2展开，整理得2-2cos(α+β)=2-2cosαcosβ+2sinαsinβ所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3．强调公式中α、β是任意角。用-β去代替β导出C(α-β)，初步认识用赋值法推导新公式。要求学生注意公式中：角、函数的排列顺序及式中各项符号，引导学生感受公式和谐、轮换的匀称美感，从鉴赏的角度记忆公式。（四）公式应用正因为α、β的任意性，所以赋予C(α+β)公式的强大生命力。1．请用特殊角分别代替公式中α、β，

8、你会求哪些非特殊角的值呢？让学生动笔自由尝试、主动探索。有的同学说会求cos15°、cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。甚至有的同学会说他验证了cos30°=sin60°…….（让同学感受获得公式后的第一份喜悦）由于初学公式的应用，我选择其中之一作示范。2．若β固定，分别用代替α，你将发现什么结论呢？让两名同学到黑板尝试，同时我走下讲台巡视，引导同学发现余弦的诱导公式可用C(α±β)公式得到证明：初步让学生发现C(α±β)公式是诱导公式的推广。（从而让同学感受获得公

9、式后的第二份喜悦）3．倘若让你对C(α±β)公式中的α、β自由赋值，你又将发现什么结论呢？可能有的同学发现cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ……，甚至有的会发现cos2α=cos(α+α)=cos2α-sin2α，这是以后要学的二倍角公式。甚至有调皮的同学竟发现：cos0=cos(α-α)=cos2α+sin2α=1.在无意中证明了平方关系。（据此，让同学感受到C(α±β)公式的强大功能）。（必要时，教师可适当提示）。[注]按课本编排未必能让同学注意公

10、式中α,β的任意性，（而正是因α、β的任意性，所以才赋予C(α+β)公式的强大生命力）。于是我提出上述三个问题，留时间先让同学用特殊角自由赋值。在此基础上，学会选择恰当的数或式进行赋值推导诱导公式等。逐渐摸索、尝试，不断总结、归纳。这样更能使同学亲自感受公式的强大功能，并掌握赋值法。1．练习：（1）cos80°cos20°+sin80°sin20°，初步学会逆用公式。（2）cos215°-sin215°，为二倍角公式埋下伏笔。（3）cos8