《微积分初步》辅导3----导数与微分

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1、《微积分初步》辅导3----导数与微分一、学习重难点解析(一)关于导数的概念函数的导数是一个增量之比的极限，即我们把称为函数的平均变化率，把称为变化率，若存在则可导，否则不可导.导数是由极限定义的，故有左导数和右导数.在点处可导必有函数在点处左右导数都存在且相等.(二)导数、微分和连续的关系由微分的定义可知(1)函数的可导与可微是等价的，即函数可导一定可微；反之可微一定可导.(2)计算函数的微分，只要计算出函数的导数再乘上自变量的微分即可；因此，我们可以将微分的计算与导数的计算归为同一类运算.(3)由定理可知，连续是可导的必要条件，那么，函数可微也一定连续.反之不

2、然，即连续函数不一定是可导或可微函数.(三)导数的几何意义由切线问题分析可知，函数在点处的导数就是曲线在点（，处切线的斜率。于是，在点（，处的切线方程为(四)关于导数的计算掌握导数的计算首先要熟记导数基本公式和求导法则.在我们这门课程中所学习的求导法则和方法有：(1)导数的四则运算法则；(2)复合函数求导法则；对于上述法则和方法在实用中要注意其成立的条件.在导数的四则运算法则中，应该注意乘法法则和除法法则，注意它们的构成形式并注意解题的技巧.例如，，求.这是一个分式求二阶导数的问题，形式上应该用导数的除法法则求解，但是，如果将函数变形为再求导数就应该用导数的加法法

3、则了.假如我们掌握了一些解题的技巧，会使我们的运算变得简单还会减少错误.复合函数求导数是学习的重点也是难点，它的困难之处在于对函数的复合过程的分解.由复合函数求导法则知，复合函数的导数为在求导时将分解为(其中为中间变量)，然后分别对中间变量和自变量求导再相乘.那么如何进行分解就是解题的关键，一般的说，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算，这样就会对于分别都要有导数公式或法则可求导.如果分解后找不到求导公式，则说明分解有误.例如函数，其分解为.于是分别求导为，，.相乘得到.有一种错误的分解是，这样在求导时会发现没有导数公式可以来求.总之，导数公式和

4、求导法则是要靠练习来熟悉和理解的，我们应该通过练习掌握方法并从中获得技巧.二、典型例题例1求下列函数的导数或微分：(1)设，求.(2)设，求(3)设，求.分析这三个函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的初等函数，求导或求微分时，需要用到导数基本公式和导数的四则运算法则.对于(1)先用导数的加法法则，再用导数基本公式；对于(2)，可以先用导数除法法则，再用基本公式；但注意到(2)中函数的特点，先将函数进行整理，，则可用导数的加法法则求导，得到函数的导数后再乘以，得到函数的微分；对于(3)用导数除法法则，再用基本公式.解(1)===(2)因为所以，于是.(3)因为=

5、=所以=在运用导数的四则运算法则应注意：①在求导或求微分运算中，一般是先用法则，再用基本公式；②把根式写成幂次的形式，这样便于使用公式且减少出错；③解题时应先观察函数，看看能否对函数进行变形或化简，在运算中尽可能的避免使用导数的除法法则.如例1中的(2)小题，将变形为后再求导数，这种解法比直接用除法法则求解要简便且不易出错.④导数的乘法和除法法则与极限相应的法则不同，运算也相对复杂得多，计算时要细心.