专题平面向量中范围最值等综合问题

《专题平面向量中范围最值等综合问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【2018河北定州中学模拟】设向量满足，，，则的最大值等于（）A.4B.2C.D.1【

2、答案】A【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理.【举一反三】1、【2018辽宁沈阳东北育才学模拟】在中，，点是边上的动点，且20,,，则当取得最大值时，的值为（）A.B.3C.D.【答案】D2、【2018湖南长沙市长郡中学模拟】已知向量满足：，且，若，其中，且，则的最小值是__________．【答案】【解析】，且，当时，，，又且，当且仅当时取“=”，的最小值是，故答案为.3、【2018浙东北联盟联考】已知向量，满足，，若，则的最大值为_________，最小值为__________．20【答案】4【解析】设，，即，，由二次函数性质可得，，，最大

3、值为，最小值为，故答案为，.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】已知向量与的夹角为，时取得最小值，当时，夹角的取值范围为________________.【分析】将表示为变量的二次函数，转化为求二次函数的最小值问题，当时，取最小值，由已知条件，得关于夹角的不等式，解不等式得解．【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．【举一反三】1、非零向量满足=，，则的夹角的最小值是．【答案】20【解析】由题意得，，整理得，即，，夹角的最小值为2、已知向量=（－2，－1），=（λ，1），则与的夹角θ为钝角

4、时，λ的取值范围为（）A.B.C.且λ≠2D.无法确定【答案】C【解析】∵与的夹角θ为钝角，∴=－2λ－1＜0，解得λ＞，又当λ=2时，满足向量∥，且反向，此时向量的夹角为180°，不是钝角，故λ的取值范围为λ＞，且λ≠2.故选C.类型三与向量投影有关的最值问题【例3】设，，，且，则在上的投影的取值范围()A.B.C.D.【答案】D当时，20当故当时，取得最小值为，即当时，，即综上所述故答案选【指点迷津】由已知求得及，代入投影公式，对分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。【举一反三】1、已知的外接圆的圆心为

5、，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为()A.3B.C.-3D.【答案】B本题选择B选项.2、【2018福建省闽侯第六中学模拟】设，且，则20在上的投影的取值范围（）A.B.C.D.【答案】D法2：不妨设为坐标原点，，，则，也就是.而在上的投影为.令，如果，则，所以也就是，所以20；当时，；当时，，所以也就是，所以.综上，的取值范围为.类型四与平面向量数量积有关的最值问题【例4】【2018广州华南师范大学附中模拟】如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，分别是线段上的动点，则的最大值为（）A.B.C.1D.【答案】C【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐

6、标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、【2018福建莆田市第二十四中学模拟】已知正方形的边长为，点是边上的动点，则20的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A2、【2018浙江镇海中学模拟】在平面内，，动点，满足，，则的最大值是A.3B.4C.8D.16【答案】D【解析】由，得.所以是等边三角形，设的边长为，则，得.20以BC为x轴,以BC的中垂线为y轴建立坐标系,则，由，得点P满足：.则为PC的中点，设，则，满足：，整理得：，即点M在以为圆心，1为半径的圆上，则的

7、最大值是圆心到B的距离加半径：.故选B.3、【2008云南大理市云南师范大学附属中学模拟】已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（）A.-1B.-2C.-3D.-4【答案】C类型五平面向量系数的取值范围问题【例5】【2018辽宁沈阳市四校协作体联考】在矩形中，20动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵，∴（cosθ+1，s