函数零点问题思维模式

《函数零点问题思维模式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、函数零点问题思维模式210008江苏省南京外国语学校李平龙方程的实根称为函数的零点，也即函数的图象与x轴交点的横坐标．这一新课标新增内容的概念，不仅要求学生具有方程与函数间转换的意识，而且展现了数形结合的思想方法，目前已成为高考命题的一个新亮点．本文按函数类型综述于后，试图探索出求解函数零点问题的一般思维模式．1二次函数的零点二次函数零点的存在性及其符号问题，可转化为相应的二次方程问题，进而用判别式与韦达定理处之；若要求二次函数的零点都在某区间内、两零点都大（小）于某数、一个零点小于某数另一个零点

2、大于该数、在某区间内恰有一个零点，则可借助于二次函数的图象探索出相应的充要条件；当二次函数的零点问题用二次方程与二次函数探求繁难时，可尝试对方程进行代数变形（如参数分离、换元等），构造出新的不含参数的函数，进而利用该函数的单调性或值域等知识常使问题获得简解．问题12007年普通高考广东文科数学试卷压轴题已知是实数，函数f（x）＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f（x）在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围．解析利用二次函数与二次方程相关知识解该题时（可参见标准答案），均需进行繁杂的讨论；而

3、参数分离后构作新的函数则不然．事实上，由f（x）＝0得，（2x2－1）a＝3－2x，因为x＝±不是方程的解，所以原方程同解于a＝．构造函数g（x）＝（－1≤x≤1，x≠±），下求该函数的值域．令3－2x＝t，则1≤t≤5，t≠3±，且x＝，故y＝g（x）＝＝＝，∵2≤t＋≤8，∴y≥1或y≤－，即函数g（x）的值域为（－∞，－]∪[1，＋∞），从而a的取值范围是（－∞，－]∪[1，＋∞）．评注由函数的概念知，方程f（x）＝a有解的充要条件是参数a在函数f（x）的值域内取值．本题还可用导数方法求值域

4、．2三次函数的零点第3页共3页借助于三次函数的性质可知，当三次函数不存在极值或极大值小于零或极小值大于零时，三次函数有唯一零点；当三次函数的极大值等于零或极小值等于零时，三次函数有二个零点；当三次函数的极大值大于零且极小值小于零时，三次函数有三个零点．问题22007年普通高考(全国卷Ⅱ)理科数学压轴题已知a>0，且过点A（a，b）可作曲线C：y＝f（x）＝x3–x的三条切线，求证：－a

5、）），则切线斜率k＝f′（t）＝3t2－1，又k＝kAB＝＝，故3t2－1＝，即2t3－3at2＋a＋b＝0．构造函数g（t）＝2t3－3at2＋a＋b，下求其极值便可．g′(t)＝6t2－6at＝6t（t－a），由g′(t)＝0，得t＝0或t＝a，当t<0或t>a时，g′(t)>0，g（t）是增函数；当00且g（a）＝－f

6、（a）＋b<0，即－a0）．

7、3一般函数的零点一方面，可考虑转化为二、三次函数的零点问题；另一方面，可考虑利用研究二、三次函数零点问题展现出的数学思想方法，即在函数与方程的相互转换中寻找捷径．问题32007年普通高考江苏数学试卷压轴题改编已知c≠0，函数f（x）＝－cx2＋cx，g（x）＝x3－cx2＋cx，如果函数y＝f（x）与函数y＝g（f（x））有相同的零点，试求实数c的取值范围．解析易见y＝f（x）的零点为x1＝0，x2＝1；由g（f（x））＝0得，f（x）＝0或f2（x）－cf（x）＋c＝0（*）．因x1＝0，x2＝

8、1均不是（*）方程的解，故“函数y＝f（x）与函数y＝g（f（x））有相同的零点”的充要条件是“（*）方程无实根”．若将（*）方程左边展开并分离参数，得x4－2x3＋2x2－x＋＝0，则需用导数方法求函数h（x）＝x4－2x3＋2x2－x＋的值域．事实上，h′（x）＝4x3－6x2＋4x－1＝（2x－1）（2x2－2x＋1），由h′第3页共3页（x）＝0，得x＝，当x<时，h′（x）<0，h（x）为减函数；当x>时，h′（x）>0，h（x）为增函数；故h（x）min＝h（）＝＋，即