现代控制理论第7讲

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1、现代控制理论第七讲王凯明长安大学理学院数学与信息科学系主要内容:1、线性定常系统的非齐次方程的解2、线性时变系统的解3、连续时间状态空间表达式的离散化4、离散时间系统状态方程求解2--3线性定常系统的非齐次方程的解线性定常非齐次状态方程为：微分方程的解法：非齐次状态方程的解由两部分组成，第一部分是在初始状态作用下的自由运动，第二部分为在系统输入的作用下的强制运动。将上式由O积分到t，得典型的控制输入时解的形式1、脉冲信号输入即：时2、阶跃信号输入即3、斜坡信号输入即，可以求得：【例2—8】求下述系统

2、在单位阶跃函数作用下的解：解：2—4线性时变系统的解一、时变系统状态方程的特点标量时变系统：状态转移矩阵：状态方程的解：对于矢量时变系统：?【证明】如果是齐次非线性方程的解,那么要使成立的充要条件是:二、线性时变齐次方程的解线性时变齐次矩阵微分：线性时变齐次矩阵微分的解：【证明】令:则有即:三、状态转移矩阵的基本性质(1)组合性质(传递性质)(2)转移矩阵的逆(可逆性)(3)状态矢量的不变性(4)转移矩阵的一阶导数(5)基本矩阵与转移矩阵的n个线性无关解为称状态方程的基本矩阵，则有设则四、线性时变系

3、统非齐次方程的解线性时变系统非齐次方程：线性时变系统非齐次方程的解：五、状态转移矩阵的计算1、时变系统和定常系统状态转移矩阵的区别线性定常系统线性时变系统2、状态转移矩阵的计算：证明:【例2—9】线性时变系统的状态方程为解：试求系统的状态转移矩阵当时,可近似表示为【例2—10】线性时变系统的状态方程为解：试求系统的状态转移矩阵2—5连续时间状态空间表达式的离散化设连续系统动态方程为：一、离散化方法：按一个等采样周期T的采样过程处理采样时间输入量的值只在采样时刻变化，两相邻采样时刻之间的值是通过零阶保

4、持器保持不变的。即离散化的状态方程为：其中：证明：考虑时间段，则有：比较可得：令：积分下限为：积分上限为：二、近似离散化当采样周期较小时，离散化的状态方程可近似的表示为：即：证明：考虑时间段导数，则有：代入状态方程即有：【例2—13】试将下列状态方程离散化解：近似离散化当采样周期较小时，两者是非常接近的参见书中第75页表2—1对两者的比较三、线性时变系统的离散化线性时变系统离散化的状态空间表达式其中：近似离散化的计算公式：3－5离散时间系统状态方程求解离散时间状态方程求解的一般方法：递推法（迭代法）

5、和Z变换法一、递推法（迭代法）对于线性定常离散系统状态方程：矢量矩阵形式：若初始时刻为则其解为或：转移矩阵：离散系统转移矩阵的性质：用系统转移矩阵表示离散系统的解：若初始时刻为则其解为【例2—11】求下述离散系统的解解：计算有一定的困难！！变换法求状态转移矩阵系统特征方程：系统特征值：状态转移矩阵：变换矩阵：第一项：第二项：二、Z变换法设线性定常离散系统的状态方程:故有:【例2—12】用Z变换法求下述离散系统的解解：作业1、P782—6连续线性定常系统状态空间表达式的求解2、P782—10线性定常离

6、散系统状态空间表达式的求解用MATLAB求解求下述离散系统的解解：在MATLAB中,直接采用递推法计算状态方程的解取两个不同的初始状态作为比较%Example3-9G=[1,0.01;0,0.98];H=[0;0.01];U=1;X1=[0;1];X2=[1;0];holdon;fork=0:400X1=G*X1+H*U;X2=G*X2+H*U;plot(X1(1),X1(2),'o');plot(X2(1),X2(2),'-');end