基于快速傅里叶变换的全变差图像复原方法

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1、基于快速傅里叶变换的全变差图像复原方法摘要:针对全变差(TV)的图像复原技术,本文阐述了全变差模型的建立、FTVd算法的推导过程。仿真实验表明,基于全变差的FTVd算法图像复原效果较好。　　关键词:图像复原快速全变差去卷积(FTVd)快速傅里叶变换　　:TP391:A:1007-9416(2011)03-0163-02　　　　Abstract:Fortotalvariationimagerestorationtechniques,thispaperintroducestheconstructionofthetotalvariationmode

2、l,deducestheFastTotalVariationde-convolutionalgorithm.Accordingtosimulationexperiments,theresultssho,imagerestorationresultsagerestoration;fasttotalvariationde-convolution;fastFouriertransforms　　　　1、引言　　图像在形成、传输和记录的过程中,由于很多原因使图像的质量变坏。典型的图像复原是根据图像退化的先验知识建立退化模型,以此模型为基础,采用各种逆退

3、化处理方法进行复原。不失一般性,给出图像复原的线性退化模型:　　(1)　　其中,为原始图像,为退化图像,为模糊退化算子,为随机噪声。求解图像复原问题的方法很多,常用的即求解一个最小二乘问题:。为了求解的方便加入相应的正则项,由Rudin等[1]人提出的全变差模型:　　(2)　　针对全变差模型(2)的解决[2],仿真结果表明,FTVd算法的图像复原效果比较好。　　　　2、全变差图像复原　　对于复原模型(2),应用优化理论中的变量分离与惩罚方法,引入新的辅助量来代替梯度项,产生约束的凸最小问题的新方程:　　(3)　　上式中的第二项称为惩罚项,为惩

4、罚因子。　　符号说明:记分别为水平和垂直方向的一阶有限差分算子,与分别表示对图像的水平与垂直方向的有限差分。记,其中分别是对的一个近似,让是对的近似。　　先固定,(3)式前两项关于可以分离,因此(3)式关于的最小值相当于求解　　(4)　　再固定,而在(3)式是二次的,因此的最小值可以通过法方程给出:　　　　(5)　　在周期边界条件下,,,和都是块循环矩阵,因此(5)式的左边可以通过二维离散傅里叶变换来对角化。根据傅里叶变换的卷积理论[3],(5)式可变为:　　　　(6)　　其中表示快速傅里叶变换,表示共轭转置,表示分量方式乘积。每次迭代只有和

5、是常量,其余都是变量,这些变量确定后,就可以很快的计算出。综上所述,基于全变差的FTVd复原算法步骤如下:　　(1)输入,,　　(2)初始化:,and　　(3)ATLABr2010a环境下实现的。图1给出了运动模糊的情况:(1)是大小为的原始图像,(2)是根据模型(1)获得的退化图像,SNR为7.2dB。模糊算子是运动核函数,随机噪声为高斯白噪声,方差为;(3)是基于全变差的FTVd算法,设定的初值为1,终值,的增长率为2,内部循环迭代容许的误差;经过(3)复原后得到的图像SNR为22.19dB,CPU所用时间为0.5秒,图像的质量显然得到了

6、很大的提高。　　4、总结　　基于全变差的图像复原是现今图像复原的热点之一,对于本文中的FTVd算法还有待于改进,算法中要求不断地增加惩罚因子的值,随之问题的条件数就会变大,会使得问题越难求解,同时会带来数值不稳定问题。这些问题我们将在以后的工作解决。