点差法整理版

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1、

2、“点差法”巧解椭圆中点弦题型一、重要结论及证明过程在椭圆(>>0)中,若直线与椭圆相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.证明:设M、N两点的坐标分别为、,则有,得又同理可证,在椭圆(>>0)中,若直线与椭圆相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.二、典型例题1、设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点A、B,O为坐标原点,点P满足,点N的坐标为.当绕点M旋转时,求:(1)动点P的轨迹方程;(2)的最大值和最小值.

3、2、在直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点P和Q.(1)求的取值范围;(2)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的

4、交点分别为A、B,是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求的取值范围;如果不存在,请说明理由.3、已知椭圆(>>0)的左、右焦点分别为、,离心率,右准线方程为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点的直线与该椭圆相交于M、N两点,且,求直线的方程.

5、4、已知椭圆(>>0)的离心率为,过右焦点F的直线与C相交于A、B两点.当的斜率为1时,坐标原点O到的距离为.(1)求的值;(2)C上是否存在点P,使得当绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有点P的坐标与的方程;若不存在,说明理由.5.椭圆C的中心在原点,并以双曲线的焦点为焦点,以抛物线的准线为其中一条准线.(1)求椭圆C的方程;(2)

6、设直线与椭圆C相交于A、B两点,使A、B两点关于直线对称,求的值.

7、“点差法”巧解双曲线中点弦题型一、重要结论及证明过程在双曲线(>0,>0)中,若直线与双曲线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.证明过程和椭圆证法相同(略)同理可证,在双曲线(>0,>0)中,若直线与双曲线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.二、典型例题1.已知双曲线,过点作直线交双曲线于A、B两点.(1)求弦AB的中点M的轨迹;(2)若点P恰好是弦AB的中点,求直线的方程和弦AB的长.2.设A、B是双曲线上两点,点是线段AB的中点.(1)求直线AB的方程;(

8、2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆,为什么?

9、3、双曲线C的中心在原点,并以椭圆的焦点为焦点,以抛物线的准线为右准线.(1)求双曲线C的方程;(2)设直线与双曲线C相交于A、B两点,使A、B两点关于直线对称,求的值.“点差法”巧解抛物线中点弦题型一、重要结论及证明过程(略)在抛物线中,若直线与抛物线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.同理可证,在抛物线中,若直线与抛物线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.注意:能用这个公式的条件:(1)直线与抛物线有两个不同的交点;(2)直线的

10、斜率存在,且不等于零.

11、二、典型例题1、设两点在抛物线上,是AB的垂直平分线.(Ⅰ)当且仅当取何值时,直线经过抛物线的焦点F?证明你的结论.(Ⅱ)当时,求直线的方程.(理)当直线的斜率为2时,求在y轴上的截距的取值范围.2.已知抛物线,直线交C于A、B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N.(Ⅰ)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行;(Ⅱ)是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,请说明理由.yOxMBNA

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