一元线性回归模型及参数估计

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1、一元线性回归模型及其参数估计一、一元线性回归模型的参数估计二、最小二乘参数估计量的统计性质三、最小二乘参数估计量的概率分布一、一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的一般形式一元线性回归模型的一般形式是：iiXiYmbb++=10i=1，2，…，n在满足基本假设：====0),(0),(2)(0)(iixCovjiCoviVariEmmmmsmmi=1,2,…,nj=1,2,…,ni≠j的情况下，随机抽取n组样本观测值iXiY,（i=1,2,…n），就可以估计模型的参数。同方差期望或均方值协方差模型参数估计的任务模型参数估计

2、的任务为两项：一是求得反映变量之间数量关系的结构参数的估计量，在一元线性回归模型即是参数和的估计量；b0b1二是求得随机误差项的分布参数，由于随机误差项的均值已经被假定为0，所以所要求的分布参数只有方差。2ms1、普通最小二乘法（OrdinaryLeastSquare,OLS）给定一组样本观测值（Xi,Yi），i=1,2,…n，假如模型参数估计量已经求得，并且是最合理的参数估计量，那么样本回归函数应该能够最好地拟合样本数据，即样本回归线上的点与真实观测点的“总体误差”应该尽可能地小。最小二乘法给出的判断标准是：二者之差的平方和

3、最小，即由于2)ˆ1(iYniYQ-=å=2))1ˆ0ˆ(1(iXniYbb+-å是$b0、$b1的二次函数，并且非负，所以其极小值总是存在的。根据极值存在的条件，当Q对$b0、$b1的一阶偏导数为0时，Q达到最小。即001ˆ0ˆ==ïïîïïíìb¶¶b¶¶QQÞîíì=-+=-+åå0)1ˆ0ˆ(0)1ˆ0ˆ(iXiYiXiYiXbbbbÞïîïíìS+S=SS+=S21ˆ0ˆ1ˆ0ˆiXiXiXiYiXniYbbbb解得：ïîïíì10-=ˆˆXYbbS-SSS-S=2)(21ˆiXiXniXiYiXiYnb由于0ˆb、1

4、ˆb的估计结果是从最小二乘原理得到的，故称为最小二乘估计量(least-squaresestimators)。最小二乘参数估计量的离差形式(deviationform)注：在计量经济学中，往往以大写字母表示原始数据（观测值），而以小写字母表示对均值的离差（deviation)。记ïïïîïïïíì-=-===ååYiYiyXiXixiYnYiXnX11，则参数估计量可以写成：ïîïíì=-=åå21ˆ1ˆ0ˆixiyixXYbbb随机误差项方差的估计量记iYiYieˆ-=为第i个样本观测点的残差，即被解释变量的估计值与观测值之差

5、，则随机误差项方差的估计量为：1.用原始数据（观测值）Xi，Yi计算简捷公式为2.用离差形式的数据xi，yi计算其中简捷公式为2、最大似然法（MaximumLikelihood,ML）最大或然法，也称最大似然法，是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大或然原理出发发展起来的其它估计方法的基础。基本原理：对于最大或然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型总体中抽取该n组样本观测值的联合概率最大。将该或然函数极大化，即可求得到模型参数的极大或然估计量。由于或然函数的极大化与或然函数的对数的

6、极大化是等价的，所以，取对数或然函数如下：可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参数的最大或然估计量与普通最小二乘估计量是相同的。但是，随机误差项的方差的估计量是不同的。3、样本回归线的数值性质(numericalproperties)样本回归线通过Y和X的样本均值；Y估计值的均值等于观测值的均值；残差的均值为0。二、最小二乘参数估计量的统计性质高斯-马尔可夫定理当模型参数估计完成后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markovtheor

7、em)在给定经典线性回归的假定下，最小二乘参数估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。1、线性性：最小二乘参数估计量是Y的线性函数。2、无偏性：最小二乘参数估计量的均值等于总体回归参数真值。3、有效性：在所有线性无偏估计量中，最小二乘参数估计量具有最小方差。（2）证明最小方差性4、结论普通最小二乘参数估计量具有线性性、无偏性、最小方差性等优良性质。具有这些优良性质的估计量又称为最佳线性无偏估计量，即BLUE估计量（theBestLinearUnbiasedEstimators）。显然这些优良的性质依赖于对模型的基本假设。三、最小二

8、乘参数估计量的概率分布可以证明，随机误差项方差的无偏估计量为：例：已知收入X和消费支出Y的如下数据，试估计Y对X的一元线性回归方程，并计算参数估计量的标准差。解：其中，