分式函数值域的求法

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1、分式函数的值域函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。今天我们主要讨论分式函数的值域求法。一、若同时为零，则函数就变为形如（不同时为零）的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。例１　求函数的值域解法１：（分离常数法）利用恒等变形可化为：所以，该函数的值域为：解法２：（求反函数法）函数的反函数为所以原函数值域为（即反函数定义域为原函数值域）。二、若不同时为零，但分子与分母有公因式子，可先约分再求值域。如果不约分，直接采用下面三的方法，将加大运算量（如例6）。例２　求函数的值域解：可先将函数

2、变为。约分后函数变为。所以约分后函数的定义域扩大了（严格来说与原函数不是同一个函数，但在不引起混淆的情况下也可直接约分），在１处所对应的函数值，也是不能取到的值，所以函数的值域是。例３求函数的值域解：函数可变形为，所以该函数的值域是。三、若不同时为零，分子与分母没有公因式子，可以通过判别式法、分离常数法、基本不等式法求函数的值域。例４函数的值域．解法1：(判别式法)将转化为关于的一元二次方程（看作参数）：(这是一个必有解的方程。讨论使上方程有解的参数的范围，恰为函数的值域）①若，则矛盾②由，这时由解得；时，。∴综上所述知原函数的值域为．

3、解法2：(分离常数法)＝＝设，则的值域是所以，原函数值域为。例5：函数的值域解：（基本不等式法）因为＝当时，，，当且仅当时等号成立；当时，，，当且仅当时等号成立。所以函数的值域为。例6：求函数的值域解：因为分子与分母有公因子，约分后可用上面二介绍的方法来求值域，如果不约分，也可直接用判别式法来求。将转化为关于的一元二次方程；当时，不在函数定义域内；当时，即，当时，，此时不在函数定义域内。所以函数值域内对于形如（）的二次分式函数的求值域问题，只要函数（）的定义域没有额外限制条件，就能够用判别式法求解，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值

4、域。同时要注意：1、把分式函数转化为关于的一元二次方程后，要对二次项系数进行讨论。2、要对时的值代回方程检验。