(a)坐标系与参数方程(选修)

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1、高考数学专题导学十九(坐标系与参数方程)(选修4－4)一、思考与感悟:1.在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若点分别在曲线(为参数)和曲线上,则的最小值为。2.直线被双曲线截得的弦长为。3.在极坐标系中,若是上任意两点,则线段长度的最大值为。4.已知点是曲线(为参数,)上一点,为坐标原点,若直线的倾斜角为,则点的坐标为。5.在极坐标系中,和极轴垂直且相交的直线与圆相交于两点,若,则直线的极坐标方程为。6.在极坐标系中,曲线与的交点的极坐标为。7.若直线与抛物线交于两

2、点,则。8.是椭圆与轴,轴的正半轴的两交点,在第一象限的椭圆弧上,求一点,使四边形的面积最大,点坐标为。9.曲线(为参数),(为参数),(1)各是什么曲线,说明的公共点个数,(2)若把上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线,写出的参数方程,公共点个数和公共点个数是否相同?说明你的理由。10.曲线的极坐标方程为求(1)曲线的普通方程,(2)设点是曲线上任意一点,求的最大值和最小值。11.在直角坐标系中,直线的方程为,曲线的参数方程为(为参数),(1)已知在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度

3、单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,点的极坐标为,判断点与直线的位置关系,(2)设点是曲线上一个动点,求它到直线的距离的最小值。12.已知圆的参数方程为(为参数),是圆与轴的交点,若以圆心为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过点的圆的切线的极坐标方程。参考答案:1.,,,最小值。2.,直线的参数方程可化为,代入得,设方程的两根为,,则,,弦长为。3.,由得,∴,即,在直角坐标系中表示以点为圆心,以为半径的圆,∵圆上任意两点间距离的最大值是圆的直径,∴线段长度的最大值为。4.,由得,∵

4、直线的方程为,∴,∴,。5.,设极点为,由该圆的极坐标方程为,知该圆的半径为,又直线被该圆截得的弦长∴,∴极点到直线的距离为,∴该直线的极坐标方程为。6.,由得,其普通方程为,的普通方程为,联立,,点的极坐标为。7.,把代入得,∴,,由参数的几何意义。8.,设,∵,其中为定值,∴只需最大,∵为定长,∴只需点到的距离最大,∵的方程为,∴到的距离,∴时,取最大值,∴取最大值时,点的坐标为。9.解:(1)是圆,是直线,的普通方程为,圆心为,半径,的普通方程为,∵圆心到直线的距离为,∴与只有一个公共点,

5、(2)压缩后的参数方程分别为(为参数),(为参数),化为普通方程分别为,,联立消元得,其判别式,∴压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点,和与公共点的个数相同。10.解:(1)原方程可化为,即,∵,∴,普通方程,(2)设,,则,设,则,∴,,从而,∴,当时,取得最小值,当时,取得最大值。(题)11.解:(1)把极坐标系下的点化为直角坐标系,得,∵点的直角坐标满足直线的方程,∴点在直线上,(2)∵点在曲线上,∴可设点的坐标为,∴点到直线的距离为,当时,取得最小值,且最小值为。12.解:依题意,圆是以

6、为圆心,为半径的圆,与轴交于点,如图所示,设是切线上一点,∵为圆的切线,∴为直角三角形,∴,又,∴切线的极坐标方程为,若取圆与轴负半轴交点,则切线的极坐标方程为。