高三数学(理科)综合内切球和外接球问题(附习题)

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1、高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________.解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，则该球的体积为__________

2、____.2、求长方体的外接球的有关问题例3（2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则此球的表面积为.解析：体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为，故球的表面积为.例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（C）.A.B.C.D.解析：长、宽、高分别为2，2，43.求多面体的外接球的有关问题例5.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为.解设正六棱

3、柱的底面边长为，高为，则有∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.∴外接球的半径..小结本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_______________.解把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.则有.∴.故表面积.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.

4、设其外接球的半径为，则有.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。例6.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A）A.B.C.D.解析：联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体满足条件，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为，从而外接球的直径也为例7（2006年山东高考题）在等腰梯形中，，，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（C）.A.B.C.D.解图3析：（如图3），即三棱锥为正四面体，至此，这与例6就完全

5、相同了例8（2008年浙江高考题）已知球的面上四点A、B、C、D，，，，则球的体积等于.解析：，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.（如图4）图42、构造长方体例9.已知点A、B、C、D在同一个球面上，，，若，则球的体积是.图5解析：构造下面的长方体，于是为球的直径（如图5）三.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为.解球心必在所在的直线上.∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由，得.∴.∴是外接

6、圆的半径，也是外接球的半径.故.五.确定球心位置法例5在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（C）A.B.C.D.解点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，.故.【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，,求球的体积。解：所以知所以取斜边的中点，即为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为1.（陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．答案　B2.直三棱柱的各顶点都在同一球面上

7、，若,，则此球的表面积等于。解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.3．正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为　　．答案84.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A．B．C．D．答案A【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，，则此球的直径为，故选A。5.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（）A.2B.C.D.答案D6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A

8、.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶9答案C7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　．答案8.（2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一