高考数学中的恒成立问题与存在性问题

高考数学中的恒成立问题与存在性问题

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1、“恒成立问题”的解法常用方法:①函数性质法;②主参换位法;③分离参数法;④数形结合法。一、函数性质法nmoxynmoxy1.一次函数型:给定一次函数,若在[m,n]内恒有,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于;同理,若在[m,n]内恒有,则有.例1.对满足的所有实数,求使不等式恒成立的的取值范围。略解:不等式即为,设,则在上恒大于0,故有:,即.2.二次函数:①.若二次函数(或)在R上恒成立,则有(或);②.若二次函数(或)在指定区间上恒成立,可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。例2.已知函数,

2、若对于任一实数,与的值至少有一个为正数,则实数的取值范围是()A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(-∞,0)选B。例3.设,当时,都有恒成立,求的取值范围。解:设,(1)当时,即时,对一切,恒成立;-1oxy(2)当时,由图可得以下充要条件:4即;综合得的取值范围为[-3,1]。例4.关于的方程恒有解,求的范围。解法:设,则.则原方程有解即方程有正根。.3.其它函数:恒成立(若的最小值不存在,则恒成立的下界0);恒成立(若的最大值不存在,则恒成立的上界0).例5.设函数,其中常数,(1)讨论的

3、单调性;(2)若当时,恒成立,求的取值范围。.s.5.u.c.o.m解:(2)由(I)知,当时,在或处取得最小值。;则由题意得即。二、主参换位法:某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果。例6.已知函数,其中为实数.(1)已知函数在处取得极值,求的值;(2)已知不等式对任意都成立,求实数的取值范围.4解:由题设知“对都成立,即对都成立。设(),则是一个以为自变量的一次函

4、数。恒成立,则对,为上的单调递增函数。所以对,恒成立的充分必要条件是,,,于是的取值范围是。三、分离参数法:利用分离参数法来确定不等式(,为实参数)恒成立时参数的取值范围的基本步骤:(1)将参数与变量分离,即化为(或)恒成立的形式;(2)求在上的最大(或最小)值;(3)解不等式(或),求得的取值范围。适用题型:(1)参数与变量能分离;(2)函数的最值易求出。例7.当时,恒成立,则的取值范围是.解:当时,由得.令,则易知在上是减函数,所以,所以,∴.例8.已知时,不等式恒成立,求实数的取值范围。解:原不等式

5、即为:,要使上式恒成立,只需-a+5大于的最大值,因为,∴,即或,解得a<8.O四、数形结合(对于型问题,利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理):若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例9.若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是()(A)(B)(C)(D)4选B。例10.当)时,恒成立,求a的取值范围。答案:.xyo12y1=(x-1)2y2=logax例11.已知关于x的方程有

6、唯一解,求实数的取值范围。解:原问题即为:方程有唯一解。令,,则如图所示,要使和在轴上有唯一交点,则直线必须位于和之间。(包括但不包括)。当直线为时,;当直线为时,,∴的范围为。另解:方程在方程上有唯一解有唯一解。五。根据函数的奇偶性、周期性等性质:函数是奇偶性、单调性、周期性都在给定区间上恒成立。例12.若为偶函数,求的值。解:由题得:对一切恒成立,对一切xR恒成立,只需也必须.()4

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