化二次型为标准形的方法探讨

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1、化二次型为标准形的方法探讨刘墨德（三明学院数学与计算机科学系，福建三明365004）摘要：文章提供了四种化二次型为标准形的方法，即配方法、正交变换法、合同变换法、Jacobi方法.关键词：对称矩阵;二次型;正交变换;合同变换SomeDiscussesofTurnQuadraticFormIntoStandardFormLIUMo-de（DepartmentofMathematics&ComputerScince,SanmingCollege,Sanming365004,China）Abstract：Thispaperprovidesfourkindsofmethodsforthetrans

2、formingquadraticformintostandardform，namely,themethodofcompletingsquare，orthogonaltransformationmethod,contragradienttransformationmethodandJacobimethod.Keywords:symmetrymatrix；quadraticform；orthogonaltransformation；contragradienttransformation任何一个二次型都可以通过非退化的线性变换化为标准形,这个问题不仅在数学上,而且在物理学、工程学、经济学等领域

3、中都是一个重要的问题.本文将探讨化二次型为标准形的常用方法.1预备知识定义1.1[1]设是数域,系数属于的个未知量的二次齐次多项式称为数域上的元二次型.任何一个二次型都可以写成如下形式，的系数可以确定一个阶矩阵19，由于,所以,即矩阵是对称矩阵.定义1.2[4]　矩阵称为二次型的矩阵，的秩叫做二次型的秩.由于阶对称矩阵与二次型一一对应,因此可以通过对二次型的矩阵的研究来研究二次型.若记，则式可用矩阵的记号写成如下形式：在本文中，将一个元二次型表为时,都要求是对称矩阵.定义1.3[4]　二次型叫做数域上元二次型的标准形.显然标准形的矩阵是对角矩阵定义1.4[4]　是数域,和是两组未知量,线性

4、关系式19叫做由未知量到的一个线性变换.系数矩阵称为变换的矩阵.如果,那么称式为非退化线性变换.利用矩阵相乘与相等的概念,变换可写作或其中,,研究如何通过非退化线性变换将二次型化为标准形是本文主旨.引理1.1[16]设是数域上一个元二次型.那么,二次型经非退化线性变换后,可化为关于的二次型并且定义1.5[1]　设,是数域上两个阶方阵,如果存在上一个阶可逆矩阵,使,那么称合同于.引理1.2[1](1)合同于.(2)如果合同于,那么合同于.(3)如果合同于,合同于,那么合同于.(4)如果合同于,那么秩=秩.定义1.6[2]如果矩阵经一系列初等变换化为，则称矩阵与是等价的.引理1.3[2]矩阵与

5、等价的充要条件是有一系列初等矩阵与,使得.引理1.4[2]阶方阵为可逆矩阵的充要条件是可表为有限个初等矩阵的乘积.19引理1.5[2]设是可逆矩阵,是任一矩阵,有意义,那么秩秩秩.由引理1.4可知,任何可逆矩阵都可表为初等矩阵的乘积.因此,合同关系是矩阵间的等价关系，经过非退化线性变换,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.下面讨论用非退化线性变换化二次型为标准形的方法问题.2用配方法化二次型为标准形定理2.1[2]数域上的任一个元二次型均可以经过非退化线性变换化为标准形.证明对二次型的变量个数作数学归纳法.当时,二次型即为标准形,假设结论对成立,下面证明结论对也成立.分三种情况来证明:

6、(1)中至少有一个不为0,不妨设,则令即或19其中.这是一个非退化线性变换,它使得其中是关于的一个元二次型,由归纳假设,存在非退化线性变换使二次型变为标准形.从而非退化线性变换可将变为标准形由于线性变换,均非退化,故从到的线性变换也非退化,结论成立.(2)均为0,但至少有一个,不妨设,令,即,其中.它是非退化线性变换,并且使得化为关于的二次型,且的系数,由情形(1)可得,经过非退化线性变换19化为标准形,从而非退化线性可将化为标准形(3)此时是一个关于的元二次型,由归纳假设,可得经过非退化线性变换可将化为标准形.综上所述,数域上的任一个元二次型均可以经过非退化线性变换化为标准形.定理得证.

7、定理2.1中化二次型为标准形的方法称为配方法.例2.1[8]把二次型化为标准形.解在中的系数不为零,可先集中含的项,利用配方法把改写为再在剩下的项中集中含的项,配方后得到于是,线性变换或把二次型化为标准形例2.2[12]化二次型为标准形,并写出所用的非退化线性变换.19解由于中没有平方项，故作非退化线性变换即.则.令,即.或.则的标准形为.所用的非退化线性变换为.对于一般的二次型,当平方项的系数不全为零时,可用例1中的方